กฎไลบ์นิทซ์ทั่วไป

ใน แคลคูลัส กฎไลบ์นิทซ์ทั่วไป ตั้งชื่อตาม ก็อทฟรีท วิลเฮ็ล์ม ไลบ์นิทซ์ วางนัยทั่วไปให้กับกฎผลคูณของอนุพันธ์ของผลคูณฟังก์ชันสองฟังก์ชัน (เรียกอีกอย่างได้ว่า "กฎของไลบ์นิทซ์") ระบุไว้ว่าถ้า $f$ และ $g$ เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ n ครั้ง แล้วผลคูณ $fg$ สามารถหาอนุพันธ์ได้ n ครั้ง และอนุพันธ์อันดับที่ n จะได้ว่า $$(fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(n-k)}g^{(k)},$$ เมื่อ ${n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}$ เป็นสัมประสิทธิ์ทวินามและ $f^{(j)}$ หมายถึงอนุพันธ์อันดับที่ j ของ f (และโดยเฉพาะ $f^{(0)}=f$)

กฎดังกล่าวสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้กฎผลคูณและการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

อนุพันธ์ลำดับที่สอง

ตัวอย่างเช่น เมื่อ n = 2 กฎจะให้นิพจน์สำหรับอนุพันธ์อันดับสองของผลคูณของฟังก์ชันสองฟังก์ชัน$$(fg)''(x)=\sum \limits _{k=0}^{2}{{\binom {2}{k}}f^{(2-k)}(x)g^{(k)}(x)}=f''(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g''(x).$$

มากกว่าสองฟังก์ชัน

สูตรนี้สามารถวางนัยทั่วไปเป็นผลคูณของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ m ฟังก์ชัน f₁,...,f_m $$\left(f_{1}f_{2}\cdots f_{m}\right)^{(n)}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}\prod _{1\leq t\leq m}f_{t}^{(k_{t})}\,,$$ โดยที่ผลรวมขยายไปทั่ว m-สิ่งอันดับ (k₁,...,k_m) ของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบด้วย ${\textstyle \sum _{t=1}^{m}k_{t}=n,}$ และ $${n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}$$ เป็นสัมประสิทธิ์อเนกนาม คล้ายกับสูตรอเนกนามในพีชคณิต

บทพิสูจน์

บทพิสูจน์กฎไลบ์นิทซ์ทั่วไปโดยการใช้อุปนัย ให้ $f$ และ $g$ เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ $n$ ครั้ง กรณีฐานเมื่อ $n=1$ อ้างว่า$$(fg)'=f'g+fg',$$ ซึ่งเป็นกฎผลคูณและทราบว่าเป็นจริง ต่อไปให้ถือว่าข้อความนั้นถือเป็นจริงเมื่อ $n\geq 1$ นั่นก็คือว่า $$(fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}.$$

แล้ว $${\begin{aligned}(fg)^{(n+1)}&=\left[\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}\right]'\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}\\&={\binom {n}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+{\binom {n}{n}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&={\binom {n+1}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\left(\sum _{k=1}^{n}\left[{\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right]f^{(n+1-k)}g^{(k)}\right)+{\binom {n+1}{n+1}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&={\binom {n+1}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+{\binom {n+1}{n+1}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}.\end{aligned}}$$ และการอ้างดังกล่าวก็เป็นจริงสำหรับ $n+1$

ความสัมพันธ์กับทฤษฎีบททวินาม

กฎของไลบ์นิทซ์มีความคล้ายคลึงอย่างมากกับทฤษฎีบททวินาม และในความเป็นจริง ทฤษฎีบททวินามสามารถพิสูจน์ได้โดยตรงจากกฎของไลบ์นิทซ์โดยการใช้ $f(x)=e^{ax}$ และ $g(x)=e^{bx}$ ซึ่งทำให้

$(a+b)^{n}e^{(a+b)x}=e^{(a+b)x}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}$

แล้วหารทั้งสองข้างด้วย $e^{(a+b)x}$

แคลคูลัสหลายตัวแปร

โดยใช้สัญกรณ์อเนกดัชนีสำหรับอนุพันธ์ย่อย ของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว กฎของไลบ์นิทซ์ระบุไว้โดยทั่วไปว่า $$\partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\beta \,:\,\beta \leq \alpha }{\alpha \choose \beta }(\partial ^{\beta }f)(\partial ^{\alpha -\beta }g).$$

สูตรนี้สามารถนำมาใช้เพื่อหาสูตรที่คำนวณสัญลักษณ์ขององค์ประกอบของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ได้ ในความเป็นจริงให้ P และ Q เป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ (โดยมีค่าสัมประสิทธิ์ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้เพียงพอหลายครั้ง) และ $R=P\circ Q.$ เนื่องจาก R เป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ สัญลักษณ์ของ R จึงกำหนดโดย: $$R(x,\xi )=e^{-{\langle x,\xi \rangle }}R(e^{\langle x,\xi \rangle }).$$

การคำนวณโดยตรงให้$$R(x,\xi )=\sum _{\alpha }{1 \over \alpha !}\left({\partial \over \partial \xi }\right)^{\alpha }P(x,\xi )\left({\partial \over \partial x}\right)^{\alpha }Q(x,\xi ).$$

โดยทั่วไปสูตรนี้เรียกว่าสูตรไลบ์นิทซ์ ใช้เพื่อกำหนดองค์ประกอบในพื้นที่ของสัญลักษณ์ ทำให้เกิดโครงสร้างวงแหวน

ดูเพิ่มเติม

• ดีริเวชัน
• แคลคูลัสเงามืด