ทฤษฎีจำนวน

ทฤษฎีจำนวน (อังกฤษ: number theory) เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ ซึ่งศึกษาเกี่ยวกับคุณสมบัติของจำนวนเต็ม นักคณิตศาสตร์ที่ศึกษาสาขานี้เรียกว่า นักทฤษฎีจำนวน นักทฤษฎีจำนวนศึกษาจำนวนเฉพาะ และโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่สร้างขึ้นจากจำนวนเต็ม เช่น จำนวนตรรกยะ ตลอดจนถึงจำนวนอื่น ๆ ซึ่งเกิดจากการขยายนัยทั่วไปของจำนวนเต็ม เช่น จำนวนเชิงพีชคณิต

คำว่า "เลขคณิต" (arithmetic) มักถูกใช้เพื่ออ้างถึงทฤษฎีจำนวน นี่เป็นการเรียกในอดีต ซึ่งในปัจจุบันไม่ได้รับความนิยมเช่นเคย ทฤษฎีจำนวนเคยถูกเรียกว่า เลขคณิตชั้นสูง ซึ่งเลิกใช้ไปแล้ว อย่างไรก็ตามคำว่า "เลขคณิต" ยังปรากฏในสาขาทางคณิตศาสตร์อยู่ (เช่น ฟังก์ชันเลขคณิต เลขคณิตของเส้นโค้งวงรี หรือ ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต) ไม่ควรจะสับสนระหว่างคำว่า เลขคณิต นี้ กับเลขคณิตมูลฐาน (elementary arithmetic) หรือสาขาของตรรกศาสตร์ที่ศึกษาเลขคณิตปีอาโนในรูปของระบบรูปนัย

ประวัติศาสตร์ของทฤษฎีจำนวน[แก้]

สาขา[แก้]

ทฤษฎีจำนวนพื้นฐาน[แก้]

เป็นสาขาหนึ่งของทฤษฎีจำนวนที่ศึกษาจำนวนโดยไม่ได้ใช้ความรู้ชั้นสูงจากสาขาอื่นเลย ปัญหาที่สาขานี้สนใจส่วนใหญ่แล้วจะเกี่ยวกับสมบัติที่น่าสนใจต่าง ๆ ของจำนวนเต็ม เช่น การหารลงตัว (divisibility) การแยกตัวประกอบเฉพาะ (prime factorization) และ จำนวนสมบูรณ์ (perfect number) เป็นต้น ทฤษฎีบทในทฤษฎีจำนวนพื้นฐานจำนวนมากมีประยุกต์ใช้ในคณิตศาสตร์สาขาอื่น เช่น ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน (Chinese remainder theorem) ในขณะที่ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาต์ (Fermat's little theorem) และ ทฤษฎีบทของออยเลอร์ (Euler's theorem) ถูกนำไปใช้ในงานวิจัยด้านทฤษฎีพื้นฐานของการเข้ารหัส

ปัญหาบางอย่างในสาขานี้สามารถอธิบายให้เข้าใจได้ง่าย แต่ยังเป็นปัญหาเปิดจนถึงปัจจุบัน เช่น

ข้อความคาดการณ์ของโกลด์บาช (Goldbach conjecture)
ข้อความคาดการณ์ของคาตาลอง (Catalan's conjecture)
ข้อความคาดการณ์จำนวนเฉพาะคู่แฝด (Twin prime conjecture)

ทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์[แก้]

ทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์ (Analytic number theory) เป็นการศึกษาทฤษฎีจำนวนผ่านเครื่องมือจากสาขาการวิเคราะห์เชิงจริง หรือการวิเคราะห์เชิงซ้อน^[1] จึงเป็นที่มาของชื่อดังกล่าว ลักษณะอีกอย่างหนึ่งของทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์คือ เป็นการศึกษาทฤษฎีจำนวนผ่านการประมาณค่า^[2]

ทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงของสาขาทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์คือ ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ ในขณะที่หลายปัญหาเปิดในสาขานี้ก็เป็นที่รู้จักกันทั่วไป เช่น ข้อความคาดการณ์ฮาร์ดี-ลิตเติลวูด ปัญหาวอร์ริง และ สมมติฐานรีมันน์

เครื่องมือที่สำคัญในสาขาทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์เช่น วิธีวงกลม วิธีตะแกรง และ แอล-ฟังก์ชัน นอกจากนี้ทฤษฎีของแบบมอดูลาร์ยังเป็นแกนหลักสำคัญของทฤษฎีจำนวนวิเคราะห์สมัยใหม่ด้วย^[3]

ทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต[แก้]

คำคม[แก้]

คณิตศาสตร์เป็นราชินีของวิทยาศาสตร์ และทฤษฎีจำนวนก็เป็นราชินีของคณิตศาสตร์
— คาร์ล ฟรีดริช เกาส์

อ้างอิง[แก้]

↑ Apostol, T. M. Introduction to analytic number theory. New York. p. 7. ISBN 978-0-387-90163-3.
↑ Granville, Andrew (2008). "Analytic number theory". ใน Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (บ.ก.). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11880-2. สืบค้นเมื่อ 2020-02-22.
↑ Diamond, Fred; Shurman, Jerry. A first course in modular forms. New York: Springer. ISBN 978-1-4419-2005-8.

บทความคณิตศาสตร์นี้ยังเป็นโครง คุณสามารถช่วยวิกิพีเดียได้โดยการเพิ่มเติมข้อมูล

[1] Apostol, T. M. Introduction to analytic number theory. New York. p. 7. ISBN 978-0-387-90163-3.

[2] Granville, Andrew (2008). "Analytic number theory". ใน Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (บ.ก.). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11880-2. สืบค้นเมื่อ 2020-02-22.

[3] Diamond, Fred; Shurman, Jerry. A first course in modular forms. New York: Springer. ISBN 978-1-4419-2005-8.

[1]

[2]

[3]

ด ค ก สาขาของวิชาคณิตศาสตร์
ประวัติ เส้นเวลา โครงร่าง หัวข้อ อภิธานศัพท์
รากฐาน	ทฤษฎีเซต คณิตตรรกศาสตร์ ทฤษฎีการพิสูจน์ ทฤษฎีโมเดล ทฤษฎีการเวียนเกิด ทฤษฎีแคทิกอรี ทฤษฎีไทป์ ปรัชญาของคณิตศาสตร์
พีชคณิต	พีชคณิตพื้นฐาน พีชคณิตเชิงเส้น พีชคณิตเชิงหลายเส้น พีชคณิตนามธรรม ทฤษฎีกรุป ทฤษฎีกาลัว พีชคณิตสลับที่ พีชคณิตสากล พีชคณิตเชิงโฮโมโลยี
คณิตวิเคราะห์	แคลคูลัส การวิเคราะห์เชิงจริง การวิเคราะห์เชิงซ้อน การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน การวิเคราะห์ฮาร์มอนิก ทฤษฎีเมเชอร์‎ สมการเชิงอนุพันธ์
วิยุตคณิต	คณิตศาสตร์เชิงการจัด ทฤษฎีกราฟ ทฤษฎีเกม ทฤษฎีอันดับ
เรขาคณิต	เรขาคณิตจำกัด เรขาคณิตเชิงพีชคณิต เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ เรขาคณิตแบบยุคลิด เรขาคณิตวิเคราะห์ เรขาคณิตวิยุต
ทฤษฎีจำนวน	เลขคณิต ทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต ทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์ เรขาคณิตไดโอแฟนไทน์
ทอพอโลยี	ทอพอโลยีทั่วไป ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต ทอพอโลยีเชิงเรขาคณิต ทฤษฎีเงื่อน ทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์ ทฤษฎีโฮโมโทปี
ประยุกต์	ความน่าจะเป็น สถิติศาสตร์ คณิตศาสตร์การเงิน คณิตศาสตร์เคมี คณิตศาสตร์จิตวิทยา คณิตศาสตร์ชีววิทยา คณิตศาสตร์ฟิสิกส์ คณิตศาสตร์เศรษฐศาสตร์ ทฤษฎีระบบควบคุม
คณนา	การวิเคราะห์เชิงตัวเลข การหาค่าเหมาะที่สุด ทฤษฎีการคำนวณ พีชคณิตของคอมพิวเตอร์ วิทยาการคอมพิวเตอร์
อื่น ๆ	ประวัติของคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์นันทนาการ คณิตศาสตร์และศิลปะ การสอนคณิตศาสตร์
หมวดหมู่ สถานีย่อย