เส้นโค้งเบซิเยร์

เส้นโค้งเบซิเยร์ (Bézier curve) ในคณิตศาสตร์ถือว่าเป็นเส้นโค้งหนึ่งที่มีความสำคัญอย่างมากในเรื่องของ คอมพิวเตอร์กราฟิกส์ เพราะวิธีการที่เสถียรที่สุด ในการสร้างจุดต่างๆบนเส้นโค้งเบซิเยร์สามารถทำได้โดยใช้ ขั้นตอนวิธีของเดอคาสเซิลโจ (de Casteljau's algorithm) รูปแบบหนึ่งของเส้นโค้งเบซิเยร์เมื่อเพิ่มมิติให้สูงขึ้น เราเรียกว่า พื้นผิวเบซิเยร์ โดยมี พื้นผิวสามเหลี่ยมเบซิเยร์ เป็นรูปแบบพิเศษอีกแบบหนึ่ง

เส้นโค้งเบซิเยร์ถูกเผยแพร่สู่สาธารณชนเป็นครั้งแรกเมื่อปี พ.ศ. 2505 โดยนักวิศวกรชาว ฝรั่งเศส ที่ชื่อ ปิแอร์ เบซิเยร์ (Pierre Bézier) ซึ่งขณะนั้นเป็นนักวิชาการอยู่ในแผนกออกแบบที่บริษัทรถยนต์ยี่ห้อเรโนลด์ แต่ในความเป็นจริงแล้ว เส้นโค้งนี้ได้ถูกคิดค้นเป็นครั้งแรก เมื่อปี พ.ศ. 2502 โดยนายพอล เดอ คาสเซิลโจ (Paul de Casteljau)

สมการเส้นโค้งเบซิเยร์

นิยาม เส้นโค้งเบซิเยร์ที่ดีกรี $n$ สามารถเขียนเป็นสมการได้จาก จุดควบคุมที่กำหนดให้ p₀, p₁,..., p_n ดังนี้

$\mathbf{B} (t) =\sum_{i=0}^n {n\choose i} (1-t) ^{n-i}t^i \mathbf{p}_i \mbox{ , } t \in [0,1].$

ตัวอย่าง

เส้นโค้งเบซิเยร์เชิงเส้น

กำหนดให้ จุดควบคุมมี 2 จุด คือ p₀ และ p₁ เส้นโค้งเบซิเยร์เชิงเส้นก็คือส่วนของเส้นตรงระหว่างจุดสองจุดนั่นเอง โดยมีสมการคือ

$\mathbf{B} (t) = (1-t) \mathbf{p}_0 + t\mathbf{p}_1 \mbox{ , } t \in [0,1].$

เส้นโค้งเบซิเยร์กำลังสอง

กำหนดให้ จุดควบคุมมี 3 จุด คือ p₀ p₁ และ p₂ เส้นโค้งเบซิเยร์กำลังสอง มีสมการ คือ

$\mathbf{B} (t) = (1 - t) ^{2}\mathbf{p}_0 + 2t (1 - t) \mathbf{p}_1 + t^{2}\mathbf{p}_2 \mbox{ , } t \in [0,1].$

เส้นโค้งเบซิเยร์กำลังสาม

กำหนดให้ จุดควบคุมมี 4 จุด คือ p₀ p₁ p₂ และ p₃ เส้นโค้งเบซิเยร์กำลังสาม มีสมการ คือ

$\mathbf{B} (t) = (1 - t) ^{3}\mathbf{p}_0 + 3t (1 - t) ^2\mathbf{p}_1 + 3t^2 (1 - t) \mathbf{p}_2 + t^{3}\mathbf{p}_3 \mbox{ , } t \in [0,1].$

แหล่งข้อมูลอื่น

• Bezier Curves interactive applet
• 3rd order Bezier Curves applet
• Living Math Bézier applet
• Living Math Bézier applets of different spline types, JAVA programming of splines in An Interactive Introduction to Splines
• Don Lancaster's Cubic Spline Library describes how to approximate a circle (or a circular arc, or a hyperbola) by a Bézier curve; using cubic splines for image interpolation, and an explanation of the math behind these curves.
• Pictovia: ทำ กราฟ