0.999...

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
(เปลี่ยนทางจาก 0.999..)
999 Perspective.png

ในทางคณิตศาสตร์ ทศนิยมซ้ำ 0.999... ซึ่งสามารถเขียนได้ในรูป 0.\bar{9} , 0.\dot{9} หรือ \ 0.(9) มีค่าเท่ากับจำนวนจริง 1 หรือกล่าวในอีกทางหนึ่งคือ "0.999..." เป็นการนำเสนอจำนวนเดียวกันกับสัญลักษณ์ "1"

การพิสูจน์[แก้]


\begin{align}
0.999\ldots &= \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} + \cdots \\
&= -9 + \left( \frac{9}{1} + \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} + \cdots \right) \\
&= -9 + 9 \sum_{k=0}^\infty \left( \frac{1}{10} \right)^k \\
&= -9 + 9 \left( \frac{10}{9} \right) \\
&= 1 \\
\end{align}

อธิบาย[แก้]

เนื่องจากอนุกรมเรขาคณิตอนันต์นี้ เป็นอนุกรมลู่เข้า จึงได้ว่า

\sum_{k=0}^\infty \left( \frac{1}{10} \right)^k = \frac{1}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{1}{\frac{9}{10}} = \frac{10}{9}

การพิสูจน์เชิงพีชคณิต[แก้]

การดำเนินการทางพีชคณิต[แก้]

หลายคนอาจคิดว่า การพิสูจน์ข้างต้นมีข้อผิดพลาดที่สูตรของอนุกรมลู่เข้า นี่เป็นการพิสูจน์ที่ง่ายกว่า


\begin{align}
x &= 0.999\ldots \\
10x - x &= 9.999\ldots - 0.999\ldots \\
9x &= 9 \\
x &= 1 \\
\end{align}

หรือง่ายกว่านี้


| 
\begin{align}
0.333\dots &{} = \frac{1}{3} \\
3 \times 0.333\dots &{} = 3 \times \frac{1}{3} = \frac{3 \times 1}{3} \\
0.999\dots &{} = 1
\end{align}



\begin{align}
0.111\dots & {} = \frac{1}{9} \\
9 \times 0.111\dots & {} = 9 \times \frac{1}{9} = \frac{9 \times 1}{9} \\
0.999\dots & {} = 1
\end{align}
|}

สมบัติของจำนวนจริง[แก้]

การพิสูจน์นี้ใช้คุณสมบัติของจำนวนจริง ถ้าหาก 0.999... และ 1 เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกันแล้ว มันจะมีจำนวนจริงในช่วง (0.999..., 1) อยู่เป็นจำนวนอนันต์ แต่ในความเป็นจริง มันไม่มีจำนวนนั้น แสดงว่าสมมติฐานที่ว่า 0.999... กับ 1 แตกต่างกันนั้นผิด ที่จริงแล้วมันมีค่าเท่ากัน

เศษส่วน[แก้]

เมื่อหารเลขโดดด้วย 9 มันจะได้ทศนิยมซ้ำของจำนวนนั้น


\begin{align}
1 / 9 &= 0.111\ldots \\
2 / 9 &= 0.222\ldots \\
3 / 9 &= 0.333\ldots \\
\vdots &\qquad \vdots \\
9 / 9 &= 0.999\ldots = 1 \\
\end{align}

แต่ว่า การหารด้วยตัวเอง จะมีค่าเท่ากับ 1 ดังนั้น 0.999... = 1

ดูเพิ่ม[แก้]