เวกเตอร์หนึ่งหน่วย

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ในคณิตศาสตร์ เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (อังกฤษ: unit vector) คือ เวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากับ 1 เวกเตอร์หนึ่งหน่วยมักเขียนโดยใช้สัญลักษณ์ "หมวก" กำกับไว้บนตัวอักษร เช่น \hat{i}

ในปริภูมิแบบยุคลิด ผลคูณจุดของเวกเตอร์หนึ่งหน่วยสองเวกเตอร์มีค่าเท่ากับค่าโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสอง

อนึ่ง เมื่อ u เป็นเวกเตอร์ที่มีความยาวไม่เป็นศูนย์ใดๆ เรานิยามเวกเตอร์หนึ่งหน่วยของ u เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ \hat{u} ว่าเป็นเวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกับ u และมีความยาวเท่ากับ 1 กล่าวคือ

\mathbf{\hat{u}} = \frac{\mathbf{u}}{\| \mathbf{u} \|}

เพื่อความสะดวก เรามักจะกำหนดให้สมาชิกของฐานหลักต่างๆ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน 3 มิติ ฐานหลักที่นิยมใช้คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยสามเวกเตอร์ที่มีทิศทางตามแกน x, y, และ z ซึ่งแทนด้วยสัญลักษณ์ \hat{i}, \hat{j}, และ \hat{k} ตามลำดับ กล่าวคือ

\mathbf{\hat{i}} = \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix} \mathbf{\hat{j}} = \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix} \mathbf{\hat{k}} = \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}

อย่างไรก็ดี สัญลักษณ์ \mathbf{i}, \mathbf{j}, และ \mathbf{k} เป็นที่นิยมใช้แทนเวกเตอร์หนึ่งหน่วยสามเวกเตอร์ข้างต้นมากกว่า

ในระบบพิกัดอื่นๆ เช่น พิกัดเชิงขั้ว หรือพิกัดทรงกลม จะใช้เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่แตกต่างกันไป