เมทริกซ์แต่งเติม

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

เมทริกซ์แต่งเติม (อังกฤษ: augmented matrix) คือเมทริกซ์ที่เกิดจากการรวมกันของเมทริกซ์อื่นสองเมทริกซ์ที่มีจำนวนแถวเท่ากัน เพื่อประโยชน์ในการคำนวณหาตัวผกผันของเมทริกซ์และการแก้ระบบสมการเชิงเส้นเป็นต้น

ตัวอย่าง กำหนดให้เมทริกซ์ A และ B

A = \begin{bmatrix}
1 & 3 & 2 \\
2 & 0 & 1 \\
5 & 2 & 2 \\
\end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix}
4 \\
3 \\
1 \\
\end{bmatrix}

จะได้เมทริกซ์แต่งเติม (A|B) เท่ากับ

 (A|B) = \begin{bmatrix}
1 & 3 & 2 & 4 \\
2 & 0 & 1 & 3 \\
5 & 2 & 2 & 1 \\
\end{bmatrix}

ตำราบางเล่มอาจใช้เส้นตรงคั่นระหว่างกลางในตัวเมทริกซ์ เพื่อแยกแยะว่าสมาชิกตัวไหนเป็นของเมทริกซ์ใด

การนำไปใช้[แก้]

เมทริกซ์ผกผัน[แก้]

สำหรับเมทริกซ์จัตุรัสที่ไม่เป็นเมทริกซ์เอกฐาน สามารถมีตัวผกผันได้ทุกเมทริกซ์ โดยการคำนวณผ่านเมทริกซ์แต่งเติมเป็นอีกวิธีหนึ่งที่ทำได้ เช่น กำหนดให้เมทริกซ์ C

C = \begin{bmatrix}
1 & 3 \\
-5 & 0 \\
\end{bmatrix}

การหาเมทริกซ์ผกผันเริ่มจากการนำเมทริกซ์เริ่มต้น มาผนวกกับเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่มีมิติเท่ากัน เป็นเมทริกซ์ (C|I)

 (C|I) = \begin{bmatrix}
1 & 3 & 1 & 0 \\
-5 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}

แล้วใช้การดำเนินการตามแถวบนเมทริกซ์ (C|I) จนกระทั่งเมทริกซ์แต่งเติมซีกซ้ายกลายเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ และได้ตัวผกผันของเมทริกซ์ที่ซีกขวา

 (I|C^{-1}) = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & \frac{1}{5} \\
0 & 1 & -\frac{1}{3} & \frac{1}{15} \\
\end{bmatrix}, \quad
C^{-1} = \begin{bmatrix}
0 & \frac{1}{5} \\
-\frac{1}{3} & \frac{1}{15} \\
\end{bmatrix}

ระบบสมการเชิงเส้น[แก้]

เมทริกซ์แต่งเติมมีส่วนช่วยในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น สมการจะต้องมีจำนวนไม่ต่ำกว่าจำนวนตัวแปรของทั้งระบบสมการ เช่นตัวแปรมี 3 ตัว จำเป็นต้องใช้ 3 สมการ ดังตัวอย่าง

\begin{array}{rcl}
x_1 + 2x_2 + 3x_3 & = & 0 \\
3x_1 + 4x_2 + 7x_3 & = & 2 \\
6x_1 + 5x_2 + 9x_3 & = & 11 \\
\end{array}

เมทริกซ์แต่งเติมซีกซ้ายจะประกอบไปด้วยสัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่อยู่ตามลำดับ ส่วนซีกขวาเป็นค่าคงตัวของสมการนั้นๆ

A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & 4 & 7 \\
6 & 5 & 9 \\
\end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix}
0 \\
2 \\
11 \\
\end{bmatrix}

เราจะได้เมทริกซ์แต่งเติม (A|B)

 (A|B) = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 0 \\
3 & 4 & 7 & 2 \\
6 & 5 & 9 & 11 \\
\end{bmatrix}

แล้วใช้การดำเนินการตามแถวบนเมทริกซ์ (A|B) จนกระทั่งเมทริกซ์แต่งเติมซีกซ้ายกลายเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ และได้ค่าของตัวแปรแต่ละตัวที่ซีกขวา

 (I|X) = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 4 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & -2 \\
\end{bmatrix}, \quad
X = \begin{bmatrix}
4 \\
1 \\
-2 \\
\end{bmatrix}
\therefore x_1 = 4,\ x_2 = 1,\ x_3 = -2