เมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

เมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค (conjugate transpose) ของเมทริกซ์ A มิติ m×n ซึ่งมีสมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อน คือเมทริกซ์สลับเปลี่ยนของเมทริกซ์ A ซึ่งเปลี่ยนสมาชิกทั้งหมดเป็นสังยุค เขียนแทนด้วยเมทริกซ์ A* หรือสามารถนิยามได้จาก

$(A^*)_{i,j} = \overline{A_{j,i}}$

เมื่อ 1 ≤ i ≤ n และ 1 ≤ j ≤ m และขีดเส้นตรงหมายถึงสังยุคของจำนวนเชิงซ้อน (อาทิ สังยุคของ a + bi คือ a − bi เป็นต้น)

นิยามดังกล่าวสามารถเขียนได้อีกรูปแบบหนึ่งดังนี้

$A^* = (\overline{A})^\mathrm{T} = \overline{A^\mathrm{T}}$

ซึ่ง $A^\mathrm{T}\!$ คือเมทริกซ์สลับเปลี่ยน และ $\overline{A}$ คือเมทริกซ์ที่มีสมาชิกเป็นสังยุค

ชื่ออื่นๆ ของเมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุคเช่น เมทริกซ์สลับเปลี่ยนเอร์มีเชียน (Hermitian transpose) เมทริกซ์สังยุคเอร์มีเชียน (Hermitian conjugate) ทรานสจูเกต (transjugate) หรือแม้แต่ เมทริกซ์ผูกพัน (adjoint matrix) ซึ่งคำสุดท้ายนี้อาจหมายถึงเมทริกซ์แอดจูเกต (adjugate matrix) ก็ได้ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุคของ A สามารถเขียนด้วยสัญลักษณ์ได้อีกหลายรูปแบบ เช่น

$A^*\!$ หรือ $A^\mathrm{H}\!$ ใช้ในพีชคณิตเชิงเส้น
$A^\dagger$ ใช้ในกลศาสตร์ควอนตัม
$A^+\!$ ใช้ในตัวผกผันเทียมมัวร์-เพนโรส (Moore-Penrose pseudoinverse)

[แก้] ตัวอย่าง

กำหนดให้เมทริกซ์ A

$A = \begin{bmatrix} 3+i & 5 \\ 2-2i & i \\ \end{bmatrix}$

เมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุคของ A คือ

$A^* = \begin{bmatrix} 3-i & 2+2i \\ 5 & -i \\ \end{bmatrix}$

[แก้] คุณสมบัติ

$(A+B)^* = A^*+B^*\!$ สำหรับเมทริกซ์ A และ B ใดๆ ที่มีมิติเท่ากัน
$(rA)^* = r^*A^*\!$ สำหรับจำนวนเชิงซ้อน r และเมทริกซ์ A ใดๆ $r^*$ ในที่นี้หมายถึงสังยุคของ r
$(AB)^* = B^*A^*\!$ สำหรับเมทริกซ์ A มิติ m×n และเมทริกซ์ B มิติ n×p (สามารถคูณกันได้)
$(A^*)^* = A\!$ สำหรับเมทริกซ์ A ใดๆ
ถ้า A เป็นเมทริกซ์จัตุรัสแล้ว $\det (A^*) = (\det A)^*\!$ และ $\operatorname{tr} (A^*) = (\operatorname{tr} A)^*\!$ (ดูเพิ่มที่ดีเทอร์มิแนนต์และรอยเมทริกซ์)
A* จะสามารถมีตัวผกผันได้ก็ต่อเมื่อ A มีตัวผกผัน ซึ่งในกรณีดังกล่าวเราจะได้ว่า $(A^*)^{-1} = (A^{-1})^*\!$
ค่าลักษณะเฉพาะ (eigenvalue) ของเมทริกซ์ A* คือสังยุคของค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ A