เมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

เมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค (อังกฤษ: conjugate transpose) ของเมทริกซ์ A มิติ m×n ซึ่งมีสมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อน คือเมทริกซ์สลับเปลี่ยนของเมทริกซ์ A ซึ่งเปลี่ยนสมาชิกทั้งหมดเป็นสังยุค เขียนแทนด้วยเมทริกซ์ A* หรือสามารถนิยามได้จาก

(A^*)_{i,j} = \overline{A_{j,i}}

เมื่อ 1 ≤ in และ 1 ≤ jm และขีดเส้นตรงหมายถึงสังยุคของจำนวนเชิงซ้อน (อาทิ สังยุคของ a + bi คือ abi เป็นต้น)

นิยามดังกล่าวสามารถเขียนได้อีกรูปแบบหนึ่งดังนี้

A^* = (\overline{A})^\mathrm{T} = \overline{A^\mathrm{T}}

ซึ่ง A^\mathrm{T}\! คือเมทริกซ์สลับเปลี่ยน และ \overline{A} คือเมทริกซ์ที่มีสมาชิกเป็นสังยุค

ชื่ออื่นๆ ของเมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุคเช่น เมทริกซ์สลับเปลี่ยนเอร์มีเชียน (Hermitian transpose) เมทริกซ์สังยุคเอร์มีเชียน (Hermitian conjugate) ทรานสจูเกต (transjugate) หรือแม้แต่ เมทริกซ์ผูกพัน (adjoint matrix) ซึ่งคำสุดท้ายนี้อาจหมายถึงเมทริกซ์แอดจูเกต (adjugate matrix) ก็ได้ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุคของ A สามารถเขียนด้วยสัญลักษณ์ได้อีกหลายรูปแบบ เช่น

ตัวอย่าง[แก้]

กำหนดให้เมทริกซ์ A

A = \begin{bmatrix}
3+i & 5 \\
2-2i & i \\
\end{bmatrix}

เมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุคของ A คือ

A^* = \begin{bmatrix}
3-i & 2+2i \\
5 & -i \\
\end{bmatrix}

คุณสมบัติ[แก้]

  • (A+B)^* = A^*+B^*\! สำหรับเมทริกซ์ A และ B ใดๆ ที่มีมิติเท่ากัน
  • (rA)^* = r^*A^*\! สำหรับจำนวนเชิงซ้อน r และเมทริกซ์ A ใดๆ r^* ในที่นี้หมายถึงสังยุคของ r
  • (AB)^* = B^*A^*\! สำหรับเมทริกซ์ A มิติ m×n และเมทริกซ์ B มิติ n×p (สามารถคูณกันได้)
  • (A^*)^* = A\! สำหรับเมทริกซ์ A ใดๆ
  • ถ้า A เป็นเมทริกซ์จัตุรัสแล้ว \det (A^*) = (\det A)^*\! และ \operatorname{tr} (A^*) = (\operatorname{tr} A)^*\! (ดูเพิ่มที่ดีเทอร์มิแนนต์และรอยเมทริกซ์)
  • A* จะสามารถมีตัวผกผันได้ก็ต่อเมื่อ A มีตัวผกผัน ซึ่งในกรณีดังกล่าวเราจะได้ว่า (A^*)^{-1} = (A^{-1})^*\!
  • ค่าลักษณะเฉพาะ (eigenvalue) ของเมทริกซ์ A* คือสังยุคของค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ A

ดูเพิ่ม[แก้]

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]