เมทริกซ์สมมาตรศูนย์กลาง

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

เมทริกซ์สมมาตรศูนย์กลาง (centrosymmetric matrix) หมายถึงเมทริกซ์จัตุรัสที่สมาชิกมีความสมมาตรกับจุดกึ่งกลางสมมติในเมทริกซ์ เมทริกซ์สมมาตรศูนย์กลางนิยามโดยเมทริกซ์ A มิติ n×n ดังนี้

A_{i,j} = A_{n-i+1,\ n-j+1}\,\!

เมื่อ i และ j มีค่าตั้งแต่ 1 ถึง n

นิยามอีกแบบหนึ่ง เมทริกซ์ A จะเป็นเมทริกซ์สมมาตรศูนย์กลางก็ต่อเมื่อ

AJ = JA\,\!

เมื่อ J คือเมทริกซ์แลกเปลี่ยน (exchange matrix) มิติ n×n

ตัวอย่างเมทริกซ์สมมาตรศูนย์กลาง

\begin{bmatrix}
3 & 2 & 1 \\
0 & 7 & 0 \\
1 & 2 & 3 \\
\end{bmatrix}, \quad
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 6 & 9 \\
0 & 2 & 5 & 7 \\
7 & 5 & 2 & 0 \\
9 & 6 & 3 & 1 \\
\end{bmatrix}

จะพบว่าจุดกึ่งกลางของเมทริกซ์ซึ่ง n เป็นจำนวนคี่ อยู่บนสมาชิกตรงกลางพอดี (สมาชิกบนแถวที่ \tfrac{n+1}{2} หลักที่ \tfrac{n+1}{2}) ส่วน n ที่เป็นจำนวนคู่จะอยู่ที่จุดสมมติระหว่างกลางเมทริกซ์

เมทริกซ์สมมาตรศูนย์กลางที่มีความสมมาตรกับเส้นทแยงมุมเส้นใดเส้นหนึ่ง จะทำให้เกิดความสมมาตรกับเส้นทแยงมุมอีกเส้นหนึ่งโดยปริยาย สามารถเรียกได้ว่าเป็นเมทริกซ์ทวิสมมาตร (bisymmetric matrix)