เซตม็องแดลโบรต

เซตม็องแดลโบรต

เซตม็องแดลโบรต (อังกฤษ: Mandelbrot set) คือ เซตของจุดในระนาบเชิงซ้อนที่เรียงตัวเป็นแฟร็กทัล ในทางคณิตศาสตร์นิยามเซตม็องแดลโบรต คือ เซตของค่าจำนวนเชิงซ้อน c ซึ่งให้ทางเดินของ 0 ภายใต้การส่งวนซ้ำของ ฟ้งก์ชันกำลังสอง (quadratic function) z² + c มีค่าจำกัด

นอกจากแวดวงคณิตศาสตร์แล้ว เซตม็องแดลโบรตก็เป็นที่รู้จักแพร่หลาย เนื่องมาจากความสวยงามของมัน และโครงสร้างที่ซับซ้อน อันเกิดจากนิยามที่มีรูปแบบง่าย ๆ นักคณิตศาสตร์ เบอนัว ม็องแดลโบรต และนักคณิตศาสตร์อื่นอีกหลายท่าน ได้พยายามนำคณิตศาสตร์แขนงนี้มาเผยแพร่ให้เป็นที่รู้จักในวงกว้าง

ประวัติ

เซตมาตัดบรอถูกจัดอยู่ในหัวข้อพลศาสตร์เชิงซ้อน ซึ่งเป็นสาขาที่เริ่มศึกษาโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ปิแอร์ ฟาตู และ กาสตง จูเลีย ในช่วงต้นของศตวรรษที่ 20 โรเบิรต์ บรูค และ ปีเตอร์ มาเทลสกี เป็นผู้วาดรูปเซตนี้เป็นครั้งแรกในการศึกษากรุปไคลน์ในปี ค.ศ. 1978

นิยาม

เซตม็องแดลโบรต $M$ นิยามโดยควาดราติกโพลิโนเมียลเชิงซ้อน

$f_{c}:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$

ที่กำหนดโดย

$f_{c}(z)=z^{2}+c.\,$

โดยที่ $c$ เป็นตัวเลขเชิงซ้อน สำหรับ $c$ แต่ละค่า พิจารณาพฤติกรรมของลำดับ $(0,f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),f_{c}(f_{c}(f_{c}(0))),\ldots )$ โดยการ วนซ้ำฟังก์ชัน $f_{c}(z)$ เริ่มต้นที่ $z=0$ ซึ่งเป็นได้สองกรณีคืออาจมีค่าสู่อนันต์ หรือ มีค่าจำกัดภายในวงกลมรัศมีหนึ่ง ๆ เซตม็องแดลโบรต คือเซตของจุด $c$ ทุกจุดที่ไม่เข้าสู่อนันต์

ภาพเซตม็องแดลโบรต จุด c มีสีดำถ้าอยู่ในเซต นอกนั้นมีสีขาว

นิยามอย่างเป็นทางการหนึ่งคือ ถ้า $f_{c}^{n}(z)$ คือไอเทอเรทที่ n ของฟังก์ชัน $f_{c}(z)$ (หมายถึงคอมโพสิทฟังก์ชัน $f_{c}(z)$ ของตัวมันเอง n ครั้ง) เซตม็องแดลโบรตเป็นซับเซตของระนาบเชิงซ้อนที่ถูกกำหนดโดย

$M=\left\{c\in \mathbb {C} :\sup _{n\in \mathbb {N} }|f_{c}^{n}(0)|<\infty \right\}.$

ในทางคณิตศาสตร์ เซตม็องแดลโบรตเป็นเพียงเซตของจำนวนเชิงซ้อน จำนวน $c$ จะอยู่ในเซต $M$ หรือไม่อยู่อย่างใดอย่างหนึ่ง ภาพของเซตม็องแดลโบรตสามารถสร้างได้โดยกำหนด $c$ ที่อยู่ใน $M$ ให้เป็นสีดำ นอกนั้นเป็นสีขาว ภาพที่มีสีสันสวยงามขึ้นที่พบเห็นบ่อย ๆ สร้างโดยการกำหนดสีต่าง ๆ แทนอัตราเร็วที่จุดมีค่าเข้าสู่อนันต์

ดูเพิ่ม

• เซตจูเลีย