อสมการโคชี-ชวาร์ซ

อสมการโคชี-ชวาร์ซ (อังกฤษ: Cauchy–Schwarz inequality บางครั้งเรียก Bunyakovsky inequality หรือ Schwarz inequality, หรือ Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz inequality) เป็นอสมการที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในคณิตศาสตร์หลายสาขา อาทิเช่น วิชาพีชคณิตเชิงเส้น การวิเคราะห์เชิงจำนวนจริง ทฤษฎีความน่าจะเป็น และถือเป็นอสมการที่สำคัญที่สุดอสมการหนึ่งในสาขาคณิตศาสตร์ อสมการโคชี-ชวาร์ซมีรูปแบบทั่วไปอีกเรียกว่า อสมการของโฮลเดอร์ (Hölder's inequality)

ประวัติ

อสมการโคชี-ชวาร์ซในรูปของ อสมการของผลรวม ซึ่งเป็นกรณีอันตะถูกตีพิมพ์ครั้งแรกเมื่อปี ค.ศ. 1821 โดย ออกัสติน-หลุยส์ โคชี (Augustin-Louis Cauchy) ในขณะที่ วิกเตอร์ บันยาคอฟสกี้ (Viktor Bunyakovsky) ลูกศิษย์ของโคชี เสนออสมการในรูปแบบของอสมการปริพันธ์ที่เป็นกรณีทั่วไปกว่าในปี ค.ศ. 1859 และ เฮอร์มาน ชวาร์ซ (Hermann Schwarz) ค้นพบผลลัพธ์ในกรณีทั่วไปของผลคูณภายในเมื่อปี ค.ศ. 1885

อสมการโคชี-ชวาร์ซ

ให้ $X$ เป็นปริภูมิผลคูณภายใน และ $x , y \in X$

$|\langle x,y\rangle| ^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle,$

โดยที่ $\langle\cdot,\cdot\rangle$ คือผลคูณภายใน หลังจากถอดรากที่สองทั้งสองข้างของอสมการ และจัดรูปให้อยู่ในรูปของนอร์มของเวกเตอร์ จะได้ว่า

$|\langle x,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|.\,$

โดยที่อสมการทั้งสองข้างจะเท่ากันได้ก็ต่อเมื่อ $x$ และ $y$ เป็นอิสระเชิงเส้นต่อกัน (ในทางเรขาคณิต, $x$ และ $y$ ขนานกัน หรือเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งเป็นเวกเตอร์ศูนย์)

ในกรณี $\mathbb C$ เป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อน และ $x_1,\ldots, x_n\in\mathbb C$ และ $y_1,\ldots, y_n\in\mathbb C$ อาจสามารถเขียนอสมการโคชี-ชวาร์ซในรูปแบบชัดแจ้งได้ดังนี้

$|x_1 \bar{y_1} + \cdots + x_n \bar{y_n}|^2 \leq (|x_1|^2 + \cdots + |x_n|^2) (|y_1|^2 + \cdots + |y_n|^2).$

โดยที่ x₁, ..., x_n, and y₁, ..., y_n เป้นสมาชิกของเวกเตอร์ $x$ และ $y$

หรือสามารถเขียนอยู่ในรูปที่กระชับคือ

$\left|\sum_{i=1}^n x_i \bar{y_i}\right|^2 \leq \sum_{j=1}^n |x_j|^2 \sum_{k=1}^n |y_k|^2 .$

การพิสูจน์

พิจารณา กรณี $y = 0$ จะได้ว่าอสมการข้างต้นเป็นจริง ซึ่งเป็นกรณีไม่สำคัญ

พิจารณา กรณี $y \neq 0$ ถ้า $a$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ จากอสมการจะได้ว่า $0 \leq \langle x-ay,x-ay \rangle = \langle x,x \rangle-a\langle y,x \rangle -\bar a\langle x,x \rangle + |a|^2\langle y,y\rangle$

พบว่าถ้าแทน $a$ ด้วย $a = \frac{\langle x,y \rangle} {\langle y,y \rangle}$ แล้ว อสมการโคชี-ชวาร์ซ เป็นจริง