หลักเกณฑ์โลปีตาล

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ในแคลคูลัส หลักเกณฑ์โลปีตาล (l'Hôpital's rule) ใช้อนุพันธ์เพื่อช่วยในการคำนวณลิมิตที่อยู่ในรูปแบบยังไม่กำหนด (indeterminate forms) หลักเกณฑ์นี้มักนำมาใช้ในการเปลี่ยนรูปแบบยังไม่กำหนด เป็นรูปแบบกำหนด เพื่อให้ง่ายต่อการคำนวณลิมิต

ภาพรวม[แก้]

เมื่อต้องการหาค่าลิมิตของผลหาร f(x)/g(x) ซึ่งทั้งตัวเศษและตัวส่วนมีค่าเข้าใกล้ 0 หรือ ตัวส่วนมีค่าเข้าใกล้อนันต์ หลักเกณฑ์โลปีตาล กล่าวว่า การหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วน จะไม่ทำให้ลิมิตเปลี่ยนแปลง อย่างไรก็ตาม เรามักนิยมแปลงผลหารให้อยู่ในรูปแบบกำหนด เพื่อให้ง่ายต่อการคำนวณ

หรือกล่าวว่า ถ้า c \in \mathbb{R}^* และ


  \lim_{x\to c}{f'(x) \over g'(x)} = A, A \in \mathbb{R}

\begin{cases}
  \lim_{x\to c}{f(x)} = \lim_{x\to c}g(x) = 0  \\
  \mbox{or} \\
   \lim_{x\to c}{|g(x)|} = +\infty 
\end{cases}

แล้ว

\lim_{x\to c}{f(x)\over g(x)}=A

โปรดสังเกตเงื่อนไขที่ว่าลิมิต f/g มีอยู่จริง บางครั้งการหาอนุพันธ์อาจได้ผลลัพธ์ที่หาลิมิตไม่ได้ในกรณีนี้หลักเกณฑ์โลปีตาลไม่ครอบคลุม

ตัวอย่างที่เป็นเลข

 \lim_{x\to 2} {2x - 4 \over x - 2}

ให้ทำการดิฟ เศษและส่วน คือ ดิฟเศษ 2x - 4 = 2 ดิฟส่วน x - 2 = 1

เพราะฉะนั้น คำตอบเท่ากับ { 2 \over 1} =2