สมมติฐานความต่อเนื่อง

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

สมมติฐานความต่อเนื่อง (อังกฤษ: continuum hypothesis) คือ สมมติฐานเกี่ยวกับขนาดของเซตอนันต์. เกออร์ก คันทอร์ ได้วางพื้นฐานเกี่ยวกับจำนวนเชิงการนับเพื่อเปรียบเทียบขนาดของเซตอนันต์ เขาได้แสดงให้เห็นว่าเซตของจำนวนเต็มมีขนาดเล็กกว่าเซตของจำนวนจริง สมมติฐานความต่อเนื่องกล่าวว่า

ไม่มีเซตใดมีขนาดอยู่ระหว่างเซตของจำนวนเต็ม กับเซตของจำนวนจริง

หรือกล่าวในเชิงคณิตศาสตร์ได้ว่า ถ้าให้จำนวนเชิงการนับของจำนวนเต็ม |\mathbb{Z}| คือ \aleph_0 (อะเลฟศูนย์) และ จำนวนเชิงการนับของจำนวนจริง |\mathbb{R}| คือ 2^{\aleph_0} แล้ว สมมติฐานความต่อเนื่องกล่าวว่า

\nexists \mathbb{A}: \aleph_0 < |\mathbb{A}| < 2^{\aleph_0}

ขนาดของเซต[แก้]

สมมติฐานภาวะต่อเนื่อง[แก้]

ถ้าเซต S เป็นเซตที่ขัดแย้งกับสมมติฐานความต่อเนื่องแล้ว เราจะไม่สามารถจับคู่หนึ่งต่อหนึ่งระหว่างสมาชิกของเซต S กับ สมาชิกของเซตจำนวนเต็มได้ เพราะว่าจะมีสมาชิกของเซต S "เหลืออยู่"เสมอ. ในทางเดียวกัน เราจะไม่สามารถจับคู่หนึ่งต่อหนึ่งระหว่างสมาชิกของเซต S กับ สมาชิกของเซตจำนวนจริงได้ เพราะว่าจะมีสมาชิกของเซตจำนวนจริง"เหลืออยู่"เสมอ

เป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์หรือหักล้าง[แก้]

สมมติฐานความต่อเนื่องทั่วไป[แก้]