สมการเชบีเชฟ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

สมการเชบีเชฟ (อังกฤษ: Chebyshev's equation) คือสมการอนุพันธ์กำลังสองสามัญเชิงเส้น (second order linear Ordinary differential equation) ซึ่งมีรูปแบบดังนี้

(1-x^2) {d^2 y \over d x^2} - x {d y \over d x} + p^2 y = 0

โดย p ค่าคงที่จำนวนจริง สมการนี้ตั้งตามชื่อของนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย ฟับนูตี เชบีเชฟ (Pafnuty Chebyshev)

ผลตอบจะอยู่ในรูปของอนุกรมค่าที่ยกกำลัง (Power series):

y = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n

โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์ต้องสอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิด (recurrence relation) ดังต่อไปนี้

 a_{n+2} = {(n-p) (n+p) \over (n+1) (n+2) } a_n.

จากการทดสอบด้วยอัตราส่วน (ratio test) กับความสัมพันธ์เวียนเกิดข้างต้น จะพบว่าค่า ในอนุกรมดังกล่าวจะลู่เข้า (converge) ในช่วง  x \in [-1,1]

ความสัมพันธ์เวียนเกิดข้างต้นนี้เราสามารถกำหนดค่าเริ่มต้นสำหรับ a_0 และ a_1 ได้ ซึ่งทำให้ได้ผลตอบในปริภูมิสองมิติที่เป็นอิสระต่อกัน เช่นหากลองเลือกให้ a_0 และ a_1 มีค่าเป็น 0 และ 1

กรณี a_0 = 1 ; a_1 = 0 จะได้

F(x) = 1 - \frac{p^2}{2!}x^2 + \frac{(p-2)p^2(p+2)}{4!}x^4 - \frac{(p-4)(p-2)p^2(p+2)(p+4)}{6!}x^6 + \cdots

และ

กรณี a_0 = 0 ; a_1 = 1 จะได้

G(x) = x - \frac{(p-1)(p+1)}{3!}x^3 + \frac{(p-3)(p-1)(p+1)(p+3)}{5!}x^5 - \cdots.

ซึ่งผลตอบในรูปแบบทั่วไปเกิดมาจากผลรวมเชิงเส้น (linear combination) ของสองผลตอบข้างต้นนี้

เมื่อ p เป็นจำนวนเต็มบวก ฟังก์ชันใดฟังก์ชันหนึ่งที่กล่าวมาข้างต้นจะมีลำดับที่จำกัด โดยที่ ฟังก์ชัน F จะมีพจน์ถึงแค่ x^p เมื่อ p เป็นจำนวนคู่ และในทางกลับกัน ฟังก์ชัน G จะมีพจน์ถึงแค่ x^p เมื่อ p เป็นจำนวนคี่ ซึ่งส่งผลให้ลำดับของอนุกรมผลตอบจะมีลำดับจำกัดอยู่แค่ลำดับ p และเป็นเพียงพหุคูณของ พหุนามเชบีเชฟ (Chebyshev polynomial) ลำดับ p เท่านั้นเอง ดังจะเขียนเป็นความสัมพันธ์ได้ดังนี้

T_p(x) = (-1)^{p/2}\ F(x)\, ถ้า p เป็นจำนวนคู่
T_p(x) = (-1)^{(p-1)/2}\ p\ G(x)\, ถ้า p เป็นจำนวนคี่

โดยที่ T_p(x) คือ พหุนามเชบีเชฟ ลำดับ p

อนึ่ง เราสามารถหาผลตอบได้ในกรณีที่ p เป็นจำนวนเต็มลบได้เช่นกัน เพียงแต่ว่าผลตอบที่ได้นั้นจะซ้ำกับผลตอบในกรณีที่ p เป็นจำนวนเต็มบวก อันเนื่องมาจากสมการเชบีเชพนี้มีคุณสมบัติไม่ไม่แปรเปลี่ยน (invariant) ภายใต้การแทนค่าระหว่าง p และ -p นั้นเอง


อ้างอิง[แก้]