สมการจรวดซีออลคอฟสกี

สมการจรวดของซีออลคอฟสกี (อังกฤษ: Tsiolkovsky rocket equation) หรือ สมการจรวดอุดมคติ (อังกฤษ: ideal rocket equation) อธิบายถึงการเคลื่อนที่ของยานพาหนะที่เป็นไปตามหลักการพื้นฐานของจรวด: จรวดเป็นอุปกรณ์ที่สามารถประยุกต์ความเร่งของตัวมันเอง (แรงขับดัน) โดยการขับไล่ส่วนหนึ่งของมวลของมันด้วยความเร็วที่สูงออกมาและทำให้เกิดการเคลื่อนที่ไปได้เนื่องมาจากกฏการอนุรักษ์โมเมนตัม สมการนี้มีความเกี่ยวข้องสัมพันธ์กันโดยค่าเดลต้า-วี (การเปลี่ยนแปลงสูงสุดของความเร็วของจรวดถ้าไม่มีแรงภายนอกอื่น ๆ มากระทำ) กับประสิทธิภาพความเร็วไอเสียและมวลเมื่อเริ่มต้นและครั้งสุดท้ายของจรวด (หรือจะเป็นเครื่องยนต์แห่งแรงปฏิกิริยาอื่น ๆ ก็ตามแต่)

สมการคือ:

$\Delta v=v_{\text{e}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}$

เมื่อ:

$m_{0}$ คือ มวลรวมตอนเริ่มต้น, รวมทั้งมวลของเชื้อเพลิงจรวด,

$m_{1}$ คือ มวลรวมตอนสุดท้าย,

$v_{\text{e}}$ คือ ประสิทธิภาพความเร็วไอเสีย ($v_{\text{e}}=I_{\text{sp}}\cdot g_{0}$ เมื่อ $I_{\text{sp}}$ คือ แรงดลจำเพาะ มีค่าตามช่วงเวลา, $g_{0}$ คือ ค่าความเร่งโน้มถ่วงมาตรฐาน),

$\Delta v\$ คือ เดลต้า-v - การเปลี่ยนแปลงสูงสุดของอัตราเร็วของยานพาหนะ, (เมื่อไม่มีแรงภายนอกมากระทำ),:$\ln$ หมายถึงฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติ,

หน่วยที่ใช้สำหรับมวลหรือความเร็วนั้นไม่สำคัญตราบเท่าที่พวกมันยังมีความสอดคล้องกัน

สมการถูกตั้งตามชื่อของคอนสแตนติน ซีออลคอฟสกี ซึ่งเป็นผู้ที่คิดขึ้นมาและผลงานของเขาได้รับการตีพิมพ์ในปี 1903

ประวัติ

สมการนี้มีที่มาอย่างอิสระโดย คอนสแตนติน ซีออลคอฟสกี (Konstantin Tsiolkovsky) ในช่วงปลายของศตวรรษที่ 19 และเป็นที่รู้จักกันอย่างกว้างขวางในนามภายใต้ชื่อของเขาหรือเป็น 'สมการจรวดในอุดมคติ' อย่างไรก็ดีหนังสือเล่มเล็ก ๆ ที่เพิ่งค้นพบเมื่อไม่นานมานี้คือ "ตำราเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของจรวด" (A Treatise on the Motion of Rockets) โดยวิลเลียม มัวร์ (William Moore) ได้แสดงให้เห็นว่าแหล่งที่มาของสมการนี้ที่รู้จักกันเป็นครั้งแรกในข้อเท็จจริงคือมาจากโรงเรียนนายร้อยทหารบกแห่งวัลลิช (Royal Military Academy at Woolwich) ในประเทศอังกฤษในปี 1813, และได้ถูกนำมาใช้สำหรับการวิจัยอาวุธ

ที่มา

พิจารณาระบบดังต่อไปนี้:

ในแหล่งที่มาดังต่อไปนี้ คำว่า "จรวด" จะถูกนำไปใช้ในความหมายว่า "จรวดและเชื้อเพลิงจรวดที่ยังไม่ถูกเผาไหม้ทั้งหมด"

กฎข้อที่สองของนิวตันของการเคลื่อนที่เกี่ยวข้องกับแรงภายนอก ($F_{i}\,$) ไปสู่การเปลี่ยนแปลงในโมเมนตัมเชิงเส้นของระบบดังต่อไปนี้:

$\sum F_{i}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {P_{2}-P_{1}}{\Delta t}}$

เมื่อ $P_{1}\,$ คือ โมเมนตัมของจรวดที่เวลา t=0:

$P_{1}=\left({m+\Delta m}\right)V$

และ $P_{2}\,$ คือ โมเมนตัมของจรวดและโมเมนตัมของมวลไอเสียที่เวลา $t=\Delta t\,$:

$P_{2}=m\left(V+\Delta V\right)+\Delta mV_{e}$

และเมื่อเทียบกับผู้สังเกต:

$V\,$ คือ ความเร็วของจรวดที่เวลา t=0

$V+\Delta V\,$ คือ ความเร็วของจรวดที่เวลา $t=\Delta t\,$

$V_{e}\,$ คือ ความเร็วของมวลที่เพิ่มขึ้นให้กับไอเสีย (และมวลที่สูญเสียไปของจรวด) ในระหว่างช่วงเวลา $\Delta t\,$

$m+\Delta m\,$ คือ มวลของจรวดที่เวลา t=0

$m\,$ คือ มวลของจรวดที่เวลา $t=\Delta t\,$

ความเร็วของไอเสีย $V_{e}$ อยู่ในกรอบของผู้สังเกตการณ์ที่สัมพันธ์กับความเร็วของไอเสีย $v_{e}$ ในกรอบของจรวดโดย (เนื่องจากความเร็วของไอเสียเป็นไปในทิศทางที่เป็นลบ)

$V_{e}=V-v_{e}$

ดังนั้น จะได้

$P_{2}-P_{1}=m\Delta V-v_{e}\Delta m\,$

และ, โดยใช้ $dm=-\Delta m$, เนื่องจากขณะดันออก เป็นบวก $\Delta m$ จึงส่งผลให้เกิดการลดลงของมวล,

$\sum F_{i}=m{\frac {dV}{dt}}+v_{e}{\frac {dm}{dt}}$

ถ้าไม่มีแรงภายนอกแล้ว $\sum F_{i}=0$ และ

$m{\frac {dV}{dt}}=-v_{e}{\frac {dm}{dt}}$

สมมติว่า $v_{e}\,$ เป็นค่าคงที่, นี่อาจจะทำการอินทิเกรทให้ได้ผลเป็น:

$\Delta V\ =v_{e}\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}$

หรือสมมูลกับ

$m_{1}=m_{0}e^{-\Delta V\ /v_{e}}$      หรือ      $m_{0}=m_{1}e^{\Delta V\ /v_{e}}$      หรือ      $m_{0}-m_{1}=m_{1}(e^{\Delta V\ /v_{e}}-1)$

เมื่อ $m_{0}$ คือ มวลรวมเริ่มต้นรวมทั้งเชื้อเพลิงจรวด, $m_{1}$ คือ มวลรวมสุดท้าย และ $v_{e}$ คือ ความเร็วของไอเสียจรวดส่วนที่เกี่ยวกับจรวด (แรงดลจำเพาะ, หรือหากวัดในเวลาจะคูณด้วยอัตราเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงของโลก)

ค่า $m_{0}-m_{1}$ เป็นมวลรวมของเชื้อเพลิงจรวดที่ถูกใช้, และด้วยเหตุนี้:

$M_{f}=1-{\frac {m_{1}}{m_{0}}}=1-e^{-\Delta V\ /v_{\text{e}}}$

เมื่อ $M_{f}$ เป็นเศษส่วนมวลของเชื้อเพลิงจรวด (ส่วนหนึ่งของมวลรวมเริ่มต้นที่ใช้เป็นมวลปฏิกิริยา)

(เดลต้า v) คือการอินทิเกรทในช่วงเวลาของขนาดของความเร่งที่ผลิตโดยใช้เครื่องยนต์จรวด (สิ่งที่จะเป็นความเร่งที่เกิดขึ้นจริงถ้าแรงจากภายนอกไม่มี) ในพื้นที่ว่าง (หรือ อวกาศอิสระ), สำหรับกรณีของความเร่งในทิศทางของความเร็ว, นี้คือการเพิ่มขึ้นของความเร็ว ในกรณีที่มีความเร่งในทิศทางตรงข้าม (ชะลอความเร็วลง) มันคือการลดลงของอัตราเร็ว แน่นอนว่าแรงโน้มถ่วงและแรงฉุดก็คือตัวทำให้เกิดความเร่งต่อจรวด, และสามารถเพิ่มหรือลดลงได้ในการเพื่อที่จะเปลี่ยนแปลงความเร็วของมันโดยการได้รับประสบการณ์จากการควบคุมอากาศยานลำนั้น ๆ นั่นเอง ดังนั้น เดลต้า-v มักจะไม่ได้มีการเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้นจริงในอัตราเร็วหรือความเร็วของอากาศยาน

ถ้าทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษถูกนำมาพิจารณา, สมการดังต่อไปนี้จะสามารถได้มาจากการเคลื่อนที่แบบจรวดเชิงสัมพัทธ (relativistic rocket), ด้วย $\Delta v$ อีกครั้งโดยถูกกำหนดให้เป็นความเร็วสุดท้ายของจรวด (หลังจากการเผาไหม้เชื้อเพลิงออกไปหมดและมีการลดลงของมวลส่วนที่เหลือ $m_{1}$) ในกรอบอ้างอิงเฉื่อยเมื่อจรวดเริ่มต้นเคลื่อนที่ที่จุดหยุดนิ่ง (ที่มีมวลส่วนที่เหลือรวมทั้งเชื้อเพลิงที่เป็น $m_{0}$ ในตอนเริ่มต้น) และ $c$ ถูกกำหนดให้เป็นค่าสำหรับอัตราเร็วของแสงในสูญญากาศ:

${\frac {m_{0}}{m_{1}}}=\left[{\frac {1+{\frac {\Delta v}{c}}}{1-{\frac {\Delta v}{c}}}}\right]^{\frac {c}{2v_{e}}}$

การเขียน ${\frac {m_{0}}{m_{1}}}$ ให้เป็น $R$, ด้วยพีชคณิตเล็ก ๆ น้อย ๆ แบบนี้จะช่วยทำให้สมการนี้ได้รับการปรับปรุงใหม่เป็น

${\frac {\Delta v}{c}}={\frac {R^{\frac {2v_{e}}{c}}-1}{R^{\frac {2v_{e}}{c}}+1}}$

จากนั้นใช้เอกลักษณ์ $R^{\frac {2v_{e}}{c}}=\exp \left[{\frac {2v_{e}}{c}}\ln R\right]$ (ในที่นี่ "exp" หมายถึงฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (exponential function); ดูเพิ่มเติม ลอการิทึมธรรมชาติ มีค่าเช่นเดียวกับ "ยกกำลัง" ของเอกลักษณ์ของเอกลักษณ์ลอการิทึม (Logarithmic identities) และเอกลักษณ์ $\tanh x={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}$ (ดู ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก (Hyperbolic function)) นี้จะเทียบเท่ากับ

$\Delta v=c\cdot \tanh \left({\frac {v_{e}}{c}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}\right)$

ดูเพิ่ม

• Delta-v
• Delta-v budget
• Oberth effect
• Specific impulse
• Spacecraft propulsion
• Mass ratio
• Working mass
• Relativistic rocket
• Reversibility of orbits
• Variable-mass systems