ลำดับพรือเฟอร์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ลำดับพรือเฟอร์ (อังกฤษ: Prüfer sequence, Prüfer code หรือ Prüfer numbers) เป็นหนึ่งในสาขาคณิตศาสตร์เชิงการจัด, ลำดับพรือเฟอร์ ของต้นไม้ คือลำดับการเข้าร่วมกับต้นไม้ ลำดับพรือเฟอร์ สำหรับต้นไม้ที่มี n จุดยอด จะมีขนาด n-2 ตัว เสมอ และสามารถสร้างต้นไม้ได้โดยใช้ขั้นตอนวิธีที่จะกล่าวในส่วนต่อไป ลำดับพรือเฟอร์ ถูกใช้ครั้งแรกสำหรับการพิสูจน์ Cayley's formula โดยไฮนซ์ พรือเฟอร์ (Heinz Prüfer) ใน ค.ศ. 1918

นิยาม[แก้]

ลำดับพรือเฟอร์ n ลำดับ คือลำดับของเลขจำนวนเต็ม (integers) :

( a1,a2,…,an−2) 

ดังนั้น ∀i : 1 ≤ i ≤ n−2 : 1 ≤ ai ≤n

ซึ่งจะเป็นลำดับที่มีขนาด n−2 ตัวและมีค่าระหว่าง 1 ถึง n

แนวคิดนี้กำหนดไว้เพื่อจุดประสงค์ในการพิสูจน์ Cayley's formula

ขั้นตอนวิธีที่ใช้ในการแปลงต้นไม้ไปเป็นลำดับพรือเฟอร์[แก้]

กำหนด ต้นไม้ T ซึ่งสามารถนำมาสร้าง ลำดับพรือเฟอร์ ที่สามารถใช้แทนกันได้

ต้นไม้ T มี n จุดยอด ซึ่งแต่ละจุดยอดจะมีค่า 1 ถึง n ไม่ซ้ำกันในแต่ละจุดยอด

  1. ถ้าต้นไม้ T มีจุดยอดทั้งหมดน้อยกว่าหรือเท่ากับ 2 ( n ≤ 2 ) จะหยุดการทำงาน ,ถ้าไม่ใช่ ทำขึ้นตอนที่ 2
  2. เลือกใบของต้นไม้ที่มีค่าต่ำที่สุด
  3. นำค่าจากใบที่ติดกับใบที่เราเลือกใส่ลงใน ลำดับพรือเฟอร์
  4. ลบใบที่เราเลือกออกจากต้นไม้ แล้ววนกลับไปทำขั้นตอนที่ 1 ใหม่


  • ความจำกัด (อังกฤษ: Finiteness) : ทุกครั้งที่ผ่านขั้นตอนที่ 4 จุดยอดจะหายไป 1 จุดเสมอ เมื่อผ่านไป n-2 รอบ จะเหลือจุดยอดเพียง 2 จุด ขั้นตอนวิธีก็จะหยุดทำงาน
  • ข้อมูลนำเข้า (อังกฤษ: Inputs) : ต้นไม้ T
  • ข้อมูลนำออก (อังกฤษ: Outputs) : ลำดับพรือเฟอร์ ซึ่งมีขนาด n-2 ตัว

ขั้นตอนวิธีที่ใช้ในการแปลงลำดับพรือเฟอร์ไปเป็นต้นไม้[แก้]

Pseudocode[แก้]

กำหนด ลำดับพรือเฟอร์ ขนาด n ตัว {a[1], a[2], ..., a[n]} จะแปลงได้ต้นไม้ที่มีจุดยอด n+2 จุด

 Convert-Prüfer-to-Tree (a)
 1 nlength[a]
 2 T ← a graph with n + 2 isolated nodes, numbered 1 to n + 2
 3 degree ← an array of integers
 4 for each node i in T
 5     do degree[i] ← 1
 6 for each value i in a
 7     do degree[i] ← degree[i] + 1

ทำการสร้างเส้นเชื่อม (edge) ระหว่างจุดยอดโดยเลือกจากใบที่อยู่ล่างสุดของ tree

 8 for each value i in a
 9     for each node j in T
10         if degree[j] = 1
11             then Insert edge[i, j] into T
12                  degree[i] ← degree[i] - 1
13                  degree[j] ← degree[j] - 1
14                  break

ทำการสร้างเส้นเชื่อม (edge) กับจุดยอดที่เหลืออันสุดท้ายเข้ากับต้นไม้

15 uv ← 0
16 for each node i in T
17     if degree[i] = 1
18         then if u = 0
19             then ui
20             else vi
21                  break
22 Insert edge[u, v] into T
22 degree[u] ← degree[u] - 1
23 degree[v] ← degree[v] - 1
24 return T

Cayley's formula[แก้]

ลำดับพรือเฟอร์ ของต้นไม้ที่มี n จุดยอดนั้น จะชัดเจนแล้วว่าลำดับพรือเฟอร์ จะมีขนาด n − 2 และค่าในแต่ละลำดับจะอยู่ระหว่าง 1 ถึง n แต่สิ่งที่ชัดเจนน้อยกว่าคือ ถ้าให้ลำดับพรือเฟอร์ ขนาด n-2 ช่อง และค่าในแต่ละลำดับจะอยู่ระหว่าง 1 ถึง n จะมีต้นไม้ที่แปลงจาก ลำดับพรือเฟอร์ นั้นออกมาเป็นต้นไม้ได้ ผลที่ได้ตามมาก็คือ ลำดับพรือเฟอร์ ให้ bijection ระหว่าง กลุ่มของต้นไม้ที่มี n จุดยอด กับ กลุ่มของลำดับพรือเฟอร์ ที่มีขนาด n-2 ตัว และค่าในแต่ละลำดับจะอยู่ระหว่าง 1 ถึง n ซึ่งในกลุ่มของลำดับพรือเฟอร์ มีขนาด nn-2 ดังนั้นการมี bijection นี้แสดงถึงการพิสูจน์ Cayley's formula เช่น จะมีต้นไม้ที่มี n จุดยอด nn-2 ต้น

ตัวอย่างการประยุกต์ใช้[แก้]

  • Cayley's formula สามารถนำไปพิสูจน์เรื่องต่อไปนี้: จำนวน spanning tree ใน complete graph Kn ที่มีชั้น d1,d2,...,dn จะเท่ากับ (n-2) !/ (d1-1) ! (d2-1) !... (dn-1) ! การพิสูจน์จะเห็นได้ว่าในลำดับพรือเฟอร์ ลำดับที่ i จะปรากฏตรงกับ (di − 1) ครั้ง
  • Cayley's formula ทั่วไป : ต้นไม้ที่เป็น spanning tree ใน complete graph โดยจำกัดการนับ ลำดับพรือเฟอร์ ซึ่งวิธีการคล้ายกับการหาจำนวน spanning tree ของ complete bipartite graph ถ้ากราฟ G เป็น complete bipartite graph ที่มีจุดยอด 1 ถึง n1 ในส่วนแรก และ n1+1 ถึง n ในส่วนที่สอง แล้ว จำนวนของ spanning tree ของกราฟ G เท่ากับ n1n2-1n2n1-1 เมื่อ n=n1+n2

อื่นๆ[แก้]

อ้างอิง[แก้]