ระบบพิกัด

พิกัด หมายถึง ค่าของตัวเลขที่ใช้อธิบายตำแหน่งของจุดบนระนาบหรือปริภูมิ ตัวอย่างเช่น ระดับความสูงจากน้ำทะเลก็เป็นพิกัดอย่างหนึ่งที่อธิบายตำแหน่งของจุดเหนือระดับพื้นผิวโลก ส่วนระบบพิกัดคือวิธีการอย่างเป็นระบบที่มีการให้ค่าคู่อันดับหรือสามสิ่งอันดับแทนตำแหน่งของแต่ละจุดบนระนาบหรือปริภูมิ ซึ่งคู่อันดับหรือสามสิ่งอันดับหนึ่งชุดจะหมายถึงตำแหน่งเพียงตำแหน่งเดียวเท่านั้น ดังตัวอย่าง สามสิ่งอันดับที่ประกอบด้วย ละติจูด ลองจิจูด และอัลติจูด (ระดับความสูง) เป็นระบบพิกัดที่ใช้ระบุตำแหน่งของจุดเหนือพื้นผิวโลก

พิกัดอาจนิยามได้ในบริบททั่วไป เช่น ถ้าหากเราไม่สนใจความสูง ดังนั้นละติจูดและลองจิจูดจึงสามารถเป็นระบบพิกัดเหนือพื้นผิวโลกก็ได้ โดยสมมติให้โลกมีรูปร่างใกล้เคียงทรงกลม พิกัดเช่นนี้เป็นสิ่งสำคัญในดาราศาสตร์ ซึ่งใช้สำหรับอธิบายตำแหน่งของวัตถุทางดาราศาสตร์บนท้องฟ้าโดยไม่สนใจระยะทาง (ดูเพิ่มที่ระบบพิกัดทรงกลมท้องฟ้า) อย่างไรก็ตาม บทความนี้จะมุ่งประเด็นไปที่ระบบพิกัดบนระนาบและปริภูมิสามมิติเท่านั้น เพื่อให้ง่ายต่อความเข้าใจในขอบเขตของคณิตศาสตร์มูลฐาน

พิกัดคาร์ทีเซียน[แก้]

ดูบทความหลักที่ ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสองมิติ จุด P ใดๆ ในระนาบ xy สามารถแสดงให้อยู่ในรูปของคู่อันดับ (x, y) โดยที่

พิกัด x คือระยะทางที่คิดเครื่องหมาย จากแกน y ไปยังจุด P และ
พิกัด y คือระยะทางที่คิดเครื่องหมาย จากแกน x ไปยังจุด P

ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามมิติ จุด P ใดๆ ในปริภูมิ xyz สามารถแสดงให้อยู่ในรูปของสามสิ่งอันดับ (x, y, z) โดยที่

พิกัด x คือระยะทางที่คิดเครื่องหมาย จากระนาบ yz ไปยังจุด P และ
พิกัด y คือระยะทางที่คิดเครื่องหมาย จากระนาบ xz ไปยังจุด P และ
พิกัด z คือระยะทางที่คิดเครื่องหมาย จากระนาบ xy ไปยังจุด P

พิกัดเชิงขั้ว[แก้]

ระบบพิกัดเชิงขั้วหรือเชิงมุม เป็นระบบพิกัดที่ตำแหน่งของจุดจุดหนึ่งจะถูกอธิบายด้วยการวัดระยะทางจากลักษณะสำคัญที่กำหนดไว้บางประการในปริภูมิ และมีการกางออกของมุมหนึ่งมุมหรือมากกว่า ซึ่งทั้งหมดเป็นระบบที่ปกติทั่วไปของพิกัดเชิงเส้นโค้ง (curvilinear coordinates)

คำว่า พิกัดเชิงขั้ว มักจะเป็นการอ้างถึง พิกัดวงกลมในสองมิติ สำหรับพิกัดเชิงขั้วอย่างอื่นที่ใช้กันตามปกติก็ยังมีพิกัดทรงกระบอกและพิกัดทรงกลม ซึ่งทั้งคู่อยู่ในสามมิติ

พิกัดวงกลม[แก้]

ดูบทความหลักที่ ระบบพิกัดเชิงขั้ว

ระบบพิกัดวงกลม เป็นระบบพิกัดเชิงขั้วในสองมิติ นิยามโดยจุดกำเนิด O และรังสี L (ส่วนของเส้นตรงที่มีปลายเปิดหนึ่งข้าง) ที่ออกมาจากจุดกำเนิด ซึ่ง L อาจเรียกได้ว่าเป็น แกนเชิงขั้ว ในพจน์ของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน เราสามารถเลือกจุด (0, 0) มาเป็นจุดกำเนิด O และรังสี L จะอยู่บนแกน x ที่เป็นบวก (ครึ่งส่วนทางขวาของแกน x)

ในระบบพิกัดวงกลม จุด P ใดๆ สามารถเขียนแทนได้ด้วยคู่อันดับ (r, θ) โดยที่

พิกัด r (รัศมี) คือระยะทางจากจุดกำเนิดไปยังจุด P ซึ่งจะได้ r ≥ 0 และ
พิกัด θ (มุมทิศ) คือขนาดของมุมที่อยู่ระหว่างแกนเชิงขั้ว กับส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดกำเนิดกับจุด P โดยปกติจะวัดทวนเข็มนาฬิกา ซึ่งจะได้ 0° ≤ θ < 360°

การแปลงพิกัดจากระบบพิกัดวงกลมอันหนึ่งไปเป็นอีกอันหนึ่งสามารถกระทำได้ รวมทั้ง

การเปลี่ยนทิศของแกนเชิงขั้ว (เช่นย้ายแกนไปอยู่ที่ทิศเหนือ)
การเปลี่ยนการวัดมุมจากทวนเข็มนาฬิกาไปเป็นตามเข็มนาฬิกา หรือในทางกลับกัน
การเปลี่ยนสเกล

นอกจากนั้น เรายังสามารถแปลงระบบพิกัดวงกลมไปเป็นพิกัดคาร์ทีเซียน แล้วแปลงพิกัดคาร์ทีเซียนนั้นให้เป็นพิกัดคาร์ทีเซียนอีกอันหนึ่ง จากนั้นจึงแปลงกลับมาเป็นพิกัดวงกลม ซึ่งการกระทำเหล่านี้เป็นสิ่งที่จำเป็นสำหรับ

การเปลี่ยนจุดกำเนิด
การเปลี่ยนสเกลในทิศทางเดียว

หรือเราสามารถกำหนดให้พิกัด θ มีค่าอยู่ในช่วงอื่นที่ต้องการก็ได้ยกตัวอย่างเช่น −180° < θ ≤ 180° เป็นต้น

พิกัดวงกลมช่วยให้เราสะดวกขึ้นในสถานการณ์ที่ว่าเรารู้เพียงแค่ระยะทาง หรือรู้เพียงแค่ทิศทางไปยังจุดที่พิจารณา

จำนวนเชิงซ้อน z ใดๆ สามารถนำเสนอได้เป็นจุดหรือเวกเตอร์บนระนาบเชิงซ้อนด้วยพิกัดวงกลม (r, φ) โดยให้ r คือค่าสัมบูรณ์ของ z และ φ คืออาร์กิวเมนต์เชิงซ้อนของ z ซึ่งช่วยให้การคูณหรือการยกกำลังจำนวนเชิงซ้อนทำได้ง่ายขึ้น

พิกัดทรงกระบอก[แก้]

ดูบทความหลักที่ ระบบพิกัดทรงกระบอก

ระบบพิกัดทรงกระบอก เป็นระบบพิกัดเชิงขั้วในสามมิติ จุด P ใดๆ บนระบบพิกัดนี้สามารถนำเสนอด้วยสามสิ่งอันดับ (r, θ, h) ในพจน์ของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนว่า

พิกัด r (รัศมี) คือระยะทางจากแกน z ไปยังจุด P ซึ่งจะได้ r ≥ 0 และ
พิกัด θ (มุมทิศ หรือ ลองจิจูด) คือขนาดของมุมที่อยู่ระหว่างแกน x ที่เป็นบวก กับส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดกำเนิดกับเงาของจุด P ที่ฉายบนบนระนาบ xy โดยปกติจะวัดทวนเข็มนาฬิกา ซึ่งจะได้ 0° ≤ θ < 360° และ
พิกัด h (ความสูง) คือระยะทางที่คิดเครื่องหมาย จากระนาบ xy ไปยังจุด P

หมายเหตุ: เราอาจเห็นว่าในบางตำราใช้ z แทน h ซึ่งไม่มีแบบใดถูกหรือผิด ขึ้นอยู่กับความหมายที่นิยาม

พิกัดทรงกระบอกอาจทำให้เกิดความซ้ำซ้อน ซึ่งเมื่อ r = 0 จะทำให้ θ ไม่มีความหมาย คือเป็นค่าอะไรก็ได้

พิกัดทรงกระบอกมีประโยชน์ในการวิเคราะห์ ระบบที่สมมาตรกับเส้นตรงเส้นหนึ่งที่เป็นแกน ตัวอย่างเช่น ทรงกระบอกที่ยาวเป็นอนันต์ มีสมการในพิกัดคาร์ทีเซียน x² + y² = c² สามารถเขียนให้อยู่ในรูปอย่างง่ายในพิกัดทรงกระบอกได้ r = c เป็นต้น

พิกัดทรงกลม[แก้]

ดูบทความหลักที่ ระบบพิกัดทรงกลม

ระบบพิกัดทรงกลม เป็นระบบพิกัดเชิงขั้วในสามมิติ จุด P ใดๆ บนระบบพิกัดนี้สามารถนำเสนอด้วยสามสิ่งอันดับ (ρ, φ, θ) หรือ (ρ, θ, φ) ในพจน์ของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนว่า

พิกัด ρ (รัศมี) คือระยะทางจากจุดกำเนิดไปยังจุด P ซึ่งจะได้ ρ ≥ 0 และ
พิกัด φ (เซนิท, โคละติจูด, หรือมุมเชิงขั้ว) คือขนาดของมุมที่อยู่ระหว่างแกน z ที่เป็นบวก กับส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดกำเนิดกับจุด P ซึ่งจะได้ 0° ≤ φ ≤ 180° และ
พิกัด θ (มุมทิศ หรือ ลองจิจูด) คือขนาดของมุมที่อยู่ระหว่างแกน x ที่เป็นบวก กับส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดกำเนิดกับเงาของจุด P ที่ฉายบนบนระนาบ xy โดยปกติจะวัดทวนเข็มนาฬิกา ซึ่งจะได้ 0° ≤ θ < 360°

และเนื่องจากพิกัดทรงกลมเขียนได้สองแบบ จึงต้องมีการประกาศรูปแบบก่อนใช้งานเพื่อมิให้เกิดความสับสน

แนวคิดของพิกัดทรงกลมสามารถขยายออกไปบนปริภูมิในมิติที่สูงขึ้นบนพิกัดไฮเพอร์สเฟียร์ (hyperspherical coordinates)

การแปลงระหว่างระบบพิกัด[แก้]

ดูบทความหลักที่ รายชื่อการแปลงพิกัดแบบบัญญัติ

เนื่องจากมีระบบพิกัดหลายระบบที่ใช้อธิบายตำแหน่งของจุดบนระนาบหรือปริภูมิ จึงเป็นสิ่งสำคัญที่จะเข้าใจว่าระบบเหล่านั้นสัมพันธ์กันอย่างไร ความสัมพันธ์อย่างหนึ่งคือ การแปลงระหว่างระบบพิกัด ซึ่งจะมีสูตรสำหรับอธิบายระบบพิกัดหนึ่งในพจน์ของระบบพิกัดอื่น ตัวอย่างเช่น หากพิกัดคาร์ทีเซียน (x, y) และพิกัดเชิงขั้ว (r, θ) มีจุดกำเนิดอยู่ที่จุดเดียวกันและมีแกนเชิงขั้วอยู่บนแกน x ที่เป็นบวก ดังนั้นการแปลงพิกัดจากเชิงขั้วไปเป็นคาร์ทีเซียนสามารถคำนวณได้จาก x = r cos θ และ y = r sin θ เป็นต้น