มัชฌิม

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

มัชฌิม (อังกฤษ: mean) ในทางสถิติศาสตร์มีความหมายได้สองทางคือ

สำหรับชุดข้อมูลหนึ่งๆ มัชฌิมคือผลบวกของสิ่งที่สังเกตการณ์ หารด้วยจำนวนครั้งที่สังเกตการณ์ มัชฌิมดังกล่าวมักจะมาคู่กันกับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ซึ่งมัชฌิมใช้อธิบายตำแหน่งกึ่งกลางของข้อมูล ในขณะที่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานใช้อธิบายความกระจัดกระจายของข้อมูล

นอกเหนือจากทางสถิติศาสตร์ มัชฌิมมักใช้ในเรื่องเรขาคณิตและคณิตวิเคราะห์ ซึ่งมัชฌิมหลายชนิดถูกสร้างขึ้นมาเพื่อจุดประสงค์ต่างๆ ในวงกว้าง แต่มีที่ใช้น้อยในสถิติศาสตร์ ดังรายชื่อต่อไปนี้

ตัวอย่าง[แก้]

มัชฌิมเลขคณิต[แก้]

มัชฌิมเลขคณิต เป็นค่าเฉลี่ยแบบมาตรฐานทั่วไป ซึ่งมักเรียกกันว่าเป็น ค่าเฉลี่ย หรือ มัชฌิม เฉยๆ

 \bar{x} = \frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^n{x_i}

ตัวอย่าง มัชฌิมเลขคณิตของ 34, 27, 45, 55, 22, 34 (จำนวนหกค่า) คือ (34 + 27 + 45 + 55 + 22 + 34) / 6 = 217 / 6 ≈ 36.167

มัชฌิมชนิดนี้มักเป็นที่สับสนกับค่าเฉลี่ยอย่างอื่นที่คล้ายกัน เช่น มัธยฐานหรือฐานนิยม มัชฌิมเลขคณิตจะเป็นการคำนวณเลขคณิตของผลเฉลี่ยจากค่าหลายๆ ค่า หรือการแจกแจง หรือแม้แต่การแจกแจงเบ้ (skewed) ซึ่งไม่เหมือนกับค่ากึ่งกลาง (มัธยฐาน) หรือค่าที่ซ้ำกันมากที่สุด (ฐานนิยม)

มัชฌิมเรขาคณิต[แก้]

มัชฌิมเรขาคณิต เป็นค่าเฉลี่ยที่มีประโยชน์สำหรับกลุ่มของจำนวนที่เกี่ยวข้องกับผลคูณ ไม่ใช่ผลบวก เช่น อัตราการเติบโต เป็นต้น

 \bar{x} = \left ( \prod_{i=1}^n{x_i} \right ) ^{1/n}

ตัวอย่าง มัชฌิมเรขาคณิตของ 34, 27, 45, 55, 22, 34 คือ (34 × 27 × 45 × 55 × 22 × 34)1/6 = 1,699,493,4001/6 ≈ 34.545

มัชฌิมฮาร์มอนิก[แก้]

มัชฌิมฮาร์มอนิก เป็นค่าเฉลี่ยที่มีประโยชน์สำหรับกลุ่มของจำนวนที่กำหนดความสัมพันธ์กับบางหน่วย เช่น ความเร็ว (ระยะทางต่อหน่วยเวลา) เป็นต้น

 \bar{x} = n \cdot \left ( \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i} \right ) ^{-1}

ตัวอย่าง มัชฌิมฮาร์มอนิกของ 34, 27, 45, 55, 22, 34 คือ

\frac{6}{\frac{1}{34}+\frac{1}{27}+\frac{1}{45} + \frac{1}{55} + \frac{1}{22}+\frac{1}{34}}\approx 33.0179836

มัชฌิมทั่วไป[แก้]

มัชฌิมกำลัง[แก้]

มัชฌิมทั่วไป (generalized mean) หรือรู้จักกันในชื่อ มัชฌิมกำลัง (power mean) หรือ มัชฌิมเฮิลเดอร์ (Hölder mean) คือภาวะนามธรรมของมัชฌิมกำลังสอง เลขคณิต เรขาคณิต และฮาร์มอนิก ซึ่งนิยามโดย

 \bar{x}(m) = \left ( \frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^n{x_i^m} \right ) ^{1/m}

โดยการเลือกค่า m ที่ต้องการเป็นพารามิเตอร์

มัชฌิมกึ่งเลขคณิต[แก้]

มัชฌิมกึ่งเลขคณิต (quasi-arithmetic mean หรือ generalized f-mean) เป็นมัชฌิมที่มีความทั่วไปมากขึ้นไปกว่ามัชฌิมกำลัง นิยามโดย

 \bar{x} = f^{-1}\left({\frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^n{f(x_i)}}\right)

โดยการเลือกฟังก์ชัน f ที่มีอินเวิร์ส เป็นพารามิเตอร์

  • f(x) = x \! จะได้ มัชฌิมเลขคณิต
  • f(x) = \frac{1}{x} \! จะได้ มัชฌิมฮาร์มอนิก
  • f(x) = x^m \! จะได้ มัชฌิมกำลัง
  • f(x) = \ln x \! จะได้ มัชฌิมเรขาคณิต

มัชฌิมถ่วงน้ำหนัก[แก้]

มัชฌิมถ่วงน้ำหนัก หรือ ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก (โดยปกติจะเป็นมัชฌิมเลขคณิตที่ถ่วงน้ำหนัก) จะใช้ในกรณีที่ต้องการผสานค่าของน้ำหนักข้อมูลเข้ากับค่าเฉลี่ย จากตัวอย่างสุ่มในประชากรเดียวกันด้วยขนาดที่แตกต่างกัน

 \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n{w_i \cdot x_i}}{\sum_{i=1}^n {w_i}}

ซึ่ง wi แทนค่าน้ำหนักของข้อมูลของแต่ละตัว

อ้างอิง[แก้]

  • สาขาวิชาวิทยาการจัดการ มหาวิทยาลัยสุโขทัยธรรมาธิราช. "9.1 การวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง". เอกสารการสอนชุดวิชาคณิตศาสตร์และสถิติเพื่อธุรกิจ หน่วยที่ 8-15. พิมพ์ครั้งที่ 23. กรุงเทพฯ : สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยสุโขทัยธรรมาธิราช, 2552. หน้า 472–488. ISBN 974-613-367-5