ฟังก์ชันเครื่องหมาย

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
กราฟของฟังก์ชันเครื่องหมาย

ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันเครื่องหมาย (อังกฤษ: sign function) คือฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์อย่างหนึ่งที่ดึงเครื่องหมายออกมาจากจำนวนจริง เขียนแทนด้วย sgn และเพื่อไม่ให้สับสนกับฟังก์ชันไซน์ (sine) ซึ่งออกเสียงเหมือนกันในภาษาอังกฤษ ฟังก์ชันนี้จึงเรียกอีกชื่อหนึ่งว่า ซินยุม หรือ ซิกนัม (signum) มาจากภาษาละติน

นิยาม[แก้]

นิยามของฟังก์ชันเครื่องหมายมีดังนี้ เมื่อ x เป็นจำนวนจริง

 \sgn (x) = \begin{cases}
-1 & \text{if } x < 0, \\
0 & \text{if } x = 0, \\
1 & \text{if } x > 0. \end{cases}

สมบัติต่างๆ[แก้]

สำหรับจำนวนจริง x ใดๆ สามารถแสดงให้อยู่ในรูปผลคูณระหว่างค่าสัมบูรณ์กับฟังก์ชันเครื่องหมาย

x = \sgn (x) \cdot |x| \,\!

จากสมการดังกล่าว เราจะได้ความหมายของฟังก์ชันเครื่องหมายอีกอย่างหนึ่ง เมื่อ x ไม่เท่ากับ 0

\sgn (x) = {x \over |x|}

ฟังก์ชันเครื่องหมายคืออนุพันธ์ของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ (ซึ่งประเมินค่าไม่ได้ที่ 0)

{d |x| \over dx} = {x \over |x|} \,\!

ฟังก์ชันเครื่องหมายสามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกจุดยกเว้นจุด 0 แต่สำหรับการหาอนุพันธ์ในทฤษฎีการกระจาย อนุพันธ์ของฟังก์ชันเครื่องหมายมีค่าเป็นสองเท่าของฟังก์ชันเดลตาของดิแร็ก (Dirac delta function)

{d \ \sgn (x) \over dx} = 2 \delta (x) \,\!

ฟังก์ชันเครื่องหมายมีความสัมพันธ์กับฟังก์ชันขั้นบันไดของเฮฟวีไซด์ (Heaviside step function) H1/2(x) นั่นคือ

\sgn (x) = 2 H_{1/2}(x) - 1 \,\!

เมื่อเลข 1/2 ของฟังก์ชันขั้นบันไดหมายถึง H1/2(0) = 1/2 ฟังก์ชันเครื่องหมายยังสามารถเขียนโดยใช้สัญกรณ์วงเล็บเหลี่ยมของอีเวอร์สัน (Iverson bracket) ดังนี้

\sgn (x) = -[x < 0] + [x > 0] \,\!

สำหรับ k ≫ 0 การประมาณค่าโดยละเอียดของฟังก์ชันขั้นบันไดดังกล่าวหาได้จาก

\sgn (x) \approx \tanh(kx)

ฟังก์ชันบนจำนวนเชิงซ้อน[แก้]

ฟังก์ชันเครื่องหมายสามารถอธิบายบนจำนวนเชิงซ้อน z ใดๆ ยกเว้น 0 ได้ดังนี้

\sgn (z) = {z \over |z|}

ซึ่งจะให้ผลลัพธ์เป็นจุดจุดหนึ่งบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่อยู่ใกล้กับ z มากที่สุดบนระนาบเชิงซ้อน นั่นคือ

\sgn (z) = \exp( i \arg z) \,\!

โดยที่ arg z คืออาร์กิวเมนต์จำนวนเชิงซ้อนของ z เนื่องจากเหตุผลของความสมมาตร และเพื่อรักษานัยทั่วไปที่สมบูรณ์ของฟังก์ชันเครื่องหมายบนจำนวนจริง ดังนั้นบนจำนวนเชิงซ้อนก็มีการกำหนดให้ sgn 0 = 0 ด้วย

การวางนัยทั่วไปอีกแบบหนึ่งของฟังก์ชันเครื่องหมายสำหรับทั้งจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนคือ csgn [1] ซึ่งนิยามโดย


 \operatorname{csgn}(z)= \begin{cases}
 1 & \text{if } \Re(z) > 0 \vee (\Re(z) = 0 \land \Im(z) > 0), \\
 -1& \text{if } \Re(z) < 0 \vee (\Re(z) = 0 \land \Im(z) < 0), \\
  0 & \text{if } \Re(z)=\Im(z)=0. 
\end{cases}

ซึ่งเราจะได้สมบัติดังนี้ (ยกเว้นค่า z = 0)

\operatorname{csgn}(z) = \frac{z}{\sqrt{z^2}} = \frac{\sqrt{z^2}}{z}

ฟังก์ชันเครื่องหมายแบบนัยทั่วไป[แก้]

ที่จำนวนจริง x เราสามารถสร้างฟังก์ชันเครื่องหมายในรูปแบบของฟังก์ชันนัยทั่วไป (generalized function) คือ \varepsilon (x) โดยนิยามให้ \varepsilon(x)^2 = 1 บนทุกๆ ค่าของ x รวมทั้งจุดที่ x = 0 (ซึ่งต่างกับ sgn คือ sgn(0)^2 = 0) และถึงแม้ว่าฟังก์ชันนัยทั่วไปนี้สามารถทำให้เกิดพีชคณิตของฟังก์ชันได้ แต่จะเสียสมบัติการสลับที่ไป โดยเฉพาะฟังก์ชันเดลตาของดิแร็กที่เป็นคู่ต่างสลับที่ของฟังก์ชันนี้ [2]

\varepsilon(x) \delta(x)+\delta(x) \varepsilon(x) = 0 \,\!

นอกจากนั้น \varepsilon(x) ไม่สามารถประเมินค่าได้ที่ x = 0 ดังนั้นความหมายของ \varepsilon จึงสำคัญที่จะแยกแยะออกจากฟังก์ชัน sgn (นั่นคือ \varepsilon(0) ไม่นิยาม แต่ในขณะที่ sgn(0) = 0)

อ้างอิง[แก้]

  1. Maple V documentation. May 21 1998
  2. Yu.M.Shirokov (1979). "Algebra of one-dimensional generalized functions". TMF 39 (3): 471–477. 

ดูเพิ่ม[แก้]