ฟังก์ชันสี่เหลี่ยมมุมฉาก

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
เว็บย่อ:
rect
กราฟของฟังก์ชันสี่เหลี่ยมมุมฉาก

ฟังก์ชันสี่เหลี่ยมมุมฉาก (อังกฤษ: rectangular/rectangle/rect function) หรือชื่ออื่นเช่น พัลส์หนึ่งหน่วย (unit pulse) พัลส์สี่เหลี่ยมจัตุรัส (square pulse) ฟังก์ชันรถตู้แบบบรรทัดฐาน (normalized boxcar function) คือฟังก์ชันที่นิยามว่า

\mathrm{rect}(t) = \sqcap(t) = \begin{cases}
0 & \mbox{if } |t| > \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & \mbox{if } |t| = \frac{1}{2} \\
1 & \mbox{if } |t| < \frac{1}{2} \\
\end{cases}

เป็นฟังก์ชันขั้นบันไดอย่างง่ายฟังก์ชันหนึ่ง การนิยามฟังก์ชันแบบอื่นอาจนิยามให้ \mathrm{rect}(\pm \tfrac{1}{2}) มีค่าเป็น 0 หรือ 1 หรือไม่นิยาม เรายังสามารถแปลงฟังก์ชันสี่เหลี่ยมมุมฉากให้เป็นรูปแบบฟังก์ชันขั้นบันไดเฮฟวีไซด์ u(t) ได้ดังนี้

\mathrm{rect}\left(\frac{t}{\tau}\right) = u \left( t + \frac{\tau}{2} \right) - u \left( t - \frac{\tau}{2} \right)

หรืออีกรูปแบบหนึ่งคือ

\mathrm{rect}(t) = u \left( t + \frac{1}{2} \right) \cdot u \left( \frac{1}{2} - t \right)

การแปลงฟูรีเยแบบยูนิแทรีของฟังก์ชันสี่เหลี่ยมมุมฉากคือ

\int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\cdot e^{-i 2\pi f t} \, dt
=\frac{\sin(\pi f)}{\pi f} = \mathrm{sinc}(f)\,

และ

\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\cdot e^{-i \omega t} \, dt
=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{\omega}{2\pi}\right)\,

เมื่อ "sinc" หมายถึงฟังก์ชันไซน์คาร์ดินัลแบบบรรทัดฐาน (normalized sinc function)

เราสามารถนิยามฟังก์ชันสามเหลี่ยมได้จากสังวัตนาการระหว่างฟังก์ชันสี่เหลี่ยมมุมฉากสองฟังก์ชันดังนี้

\mathrm{tri}(t) = \mathrm{rect}(t) * \mathrm{rect}(t)\,

ดูเพิ่ม[แก้]

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]