ฟังก์ชันคันทอร์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ฟังก์ชันคันทอร์ (อังกฤษ: Cantor function) เป็นฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ซึ่งตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ เกออร์ก คันทอร์ ได้แก่ฟังก์ชัน c : [0,1] → [0,1] ซึ่งนิยามโดย

  1. เขียน x ให้อยู่ในรูปเลขฐานสาม ถ้าเป็นไปได้ไม่ใช้เลข 1 (มีผลเฉพาะเมื่อตัวเลขลงท้ายด้วย 022222... = 100000... หรือ 200000... = 122222...)
  2. แทนที่เลข 1 ตัวแรกด้วยเลข 2 และตัวเลขที่อยู่ข้างหลังทุกตัวด้วย 0
  3. แทนที่เลข 2 ทุกตัวด้วยเลข 1
  4. ตีความผลลัพธ์เป็นเลขฐานสอง c (x)

ตัวอย่าง:

  • 1/4 เมื่อแปลงเป็นเลขฐานสามได้ 0.02020202... แต่ว่าไม่มีเลข 1 เลยขั้นต่อไปจึงยังเป็น 0.02020202... เขียนใหม่ได้ 0.01010101... ซึ่งเมื่อตีความเป็นเลขฐานสองคือ 1/3 ดังนั้น c (1/4) = 1/3
  • 1/5 เมื่อแปลงเป็นเลขฐานสามได้ 0.01210121... เปลี่ยนเลข 1 ตัวแรกเป็น 2 และที่เหลือเป็น 0 จะได้ 0.02000000... แทนที่ขั้นต่อไปได้ 0.01000000... เมื่อดูเป็นเลขฐานสองก็คือ 1/4 ดังนั้น c (1/5) = 1/4

กราฟของฟังก์ชันคันทอร์เขียนได้ดังนี้

CantorFunction.png