ฟังก์ชันขั้นบันได

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ตัวอย่างกราฟของฟังก์ชันขั้นบันได (เส้นสีแดง)

ฟังก์ชันขั้นบันได คือฟังก์ชันบนจำนวนจริงซึ่งเกิดจากการรวมกันระหว่างฟังก์ชันคงตัวจากโดเมนที่แบ่งออกเป็นช่วงหลายช่วง กราฟของฟังก์ชันจะมีลักษณะเป็นส่วนของเส้นตรงหรือรังสีในแนวราบเป็นท่อน ๆ ตามช่วง ในระดับความสูงต่างกัน

นิยาม[แก้]

ฟังก์ชัน f : RR จะเรียกว่าฟังก์ชันขั้นบันได ถ้าฟังก์ชัน f สามารถเขียนให้อยู่ในรูปแบบนี้ได้

f (x) = \sum\limits_{i=0}^n \alpha_i \chi_{A_i} (x) สำหรับทุกจำนวนจริง x

เมื่อ n ≥ 0, αi เป็นจำนวนจริง (ค่าคงตัว), Ai คือช่วงต่าง ๆ และ χA คือฟังก์ชันบ่งชี้ (indicator function) ของช่วง A นั่นคือ

\chi_A (x) =
\begin{cases}
1 & \mbox{if } x \in A \\
0 & \mbox{if } x \notin A \\
\end{cases}

ในนิยามเช่นนี้ ช่วง Ai ต่าง ๆ จะต้องมีสมบัติที่สมมติขึ้นสองประการดังนี้

  1. ช่วงต่าง ๆ จะต้องไม่มีส่วนร่วมต่อกัน นั่นคือ AiAj = ∅ โดยที่ ij
  2. ยูเนียนของช่วงทุกช่วง คือเซตจำนวนจริงทั้งเซต นั่นคือ ∪i Ai = R

ในกรณีที่สมบัติของฟังก์ชันเริ่มต้นไม่เป็นไปตามข้อสันนิษฐาน เช่นช่วงซ้อนกัน หรือยูเนียนแล้วแต่ไม่ครบเซตจำนวนจริง เราอาจเลือกช่วงใหม่ที่เทียบเท่าอันทำให้มีสมบัติดังกล่าวได้ ตัวอย่างเช่น กำหนดให้ฟังก์ชันขั้นบันไดนี้

f = 4 \chi_{[-5, 1)} + 3 \chi_{(0, 6)}\,\!

สามารถเขียนใหม่ได้เป็น

f = 0 \chi_{(-\infty, -5)} + 4 \chi_{[-5, 0]} + 7 \chi_{(0, 1)} + 3 \chi_{[1, 6)} + 0 \chi_{[6, \infty)}

ซึ่งผลลัพธ์จากฟังก์ชันจะยังคงเหมือนเดิม

ตัวอย่าง[แก้]

กราฟของฟังก์ชันเฮฟวีไซด์
กราฟของฟังก์ชันสี่เหลี่ยมมุมฉาก

ในทางตรงข้าม[แก้]

  • ฟังก์ชันภาคจำนวนเต็ม ไม่ถือว่าเป็นฟังก์ชันขั้นบันไดตามนิยามที่ระบุในบทความนี้ เพราะมีจำนวนช่วงขั้นเป็นอนันต์ (n → ∞) ไม่เป็นจำนวนจำกัด

สมบัติ[แก้]

  • ผลรวมและผลคูณของฟังก์ชันขั้นบันไดสองฟังก์ชัน จะให้ผลเป็นฟังก์ชันขั้นบันไดอีกฟังก์ชันหนึ่ง และผลคูณของฟังก์ชันขั้นบันไดกับจำนวนคงตัวก็ยังคงเป็นฟังก์ชันขั้นบันได จากกรณีทั้งสองทำให้ฟังก์ชันขั้นบันไดก่อร่างพีชคณิตขึ้นมาเหนือจำนวนจริง
  • ฟังก์ชันขั้นบันไดมีจำนวนช่วงเป็นจำนวนจำกัดเท่านั้น ถ้าช่วง Ai ต่าง ๆ ซึ่ง i = 0, 1, …, n ตามนิยามข้างต้นไม่ทับซ้อนซึ่งกันและกัน และยูเนียนของช่วงทั้งหมดเป็นจำนวนจริง จะได้ว่า f (x) = αi สำหรับทุกค่าของ xAi
  • ปริพันธ์เลอเบกของฟังก์ชันขั้นบันได \textstyle f = \sum\limits_{i=0}^n \alpha_i \chi_{A_i}\, คือ \textstyle \int \!f\,dx = \sum\limits_{i=0}^n \alpha_i \ell(A_i) เมื่อ \ell(A) คือความยาวของช่วง A และในกรณีนี้เราสมมติว่าช่วง Ai ทั้งหมดมีความยาวจำกัด ข้อเท็จจริงคือความเท่ากันนี้สามารถใช้เป็นขั้นตอนแรกในการหาปริพันธ์เลอเบก [1]

อ้างอิง[แก้]

  1. Weir, Alan J. Lebesgue integration and measure. Cambridge University Press, 1973. ISBN 0-521-09751-7.  Text "chapter 3" ignored (help)