พาย (ค่าคงตัว)

สำหรับความหมายอื่น ดูที่ พาย

สัญลักษณ์ของพาย

พาย หรือ ไพ (อักษรกรีก: π) เป็นค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์ ที่เกิดจากความยาวเส้นรอบวงหารด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม ค่า π มักใช้ในคณิตศาสตร์, ฟิสิกส์ และวิศวกรรม π เป็นอักษรกรีกที่ตรงกับตัว "p" ในอักษรละติน มีชื่อว่า "pi" (อ่านว่า พาย ในภาษาอังกฤษ แต่อ่านว่า พี ในภาษากรีก) บางครั้งเรียกว่า ค่าคงตัวของอาร์คิมิดีส (Archimedes' Constant) หรือจำนวนของลูดอล์ฟ (Ludolphine number หรือ Ludolph's Constant)

ในเรขาคณิตแบบยุคลิด π มีนิยามว่าเป็นอัตราส่วนของเส้นรอบวงหารด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม หรือเป็นอัตราส่วนของพื้นที่วงกลม หารด้วย รัศมียกกำลังกำลังสอง ในคณิตศาสตร์ชั้นสูงจะนิยาม π โดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ เช่น π คือจำนวนบวก x ที่น้อยสุดที่ทำให้ sin(x) = 0

การเกิดค่าพาย

ค่า π โดยประมาณ 50 ตำแหน่งคือ

π = 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510... (ลำดับ  A000796)

แม้ว่าค่านี้มีความละเอียดพอที่จะใช้ในงานวิศวกรรมหรือวิทยาศาสตร์แล้ว ปัจจุบันมีการคำนวณค่า π ได้หลายตำแหน่ง ซึ่งหาได้ทั่วไปจากอินเทอร์เน็ต คอมพิวเตอร์ส่วนบุคคลโดยทั่วไปสามารถคำนวณค่า π ได้พันล้านหลัก ขณะที่ซูเปอร์คอมพิวเตอร์คำนวณค่า π ได้เกินล้านล้านหลัก และไม่พบว่ามีรูปแบบที่ซ้ำกันของค่า π ปรากฏอยู่

สูตรที่เกี่ยวข้องกับ π

เรขาคณิต

π มักปรากฏในสูตรที่เกี่ยวกับวงกลมและทรงกลม

รูปร่างทางเรขาคณิต	สูตร
เส้นรอบวงของวงกลมที่มีรัศมี r และเส้นผ่านศูนย์กลาง d	$C = \pi d = 2 \pi r \,\!$
พื้นที่ของวงกลมที่มีรัศมี r	$A = \pi r^2 \,\!$
พื้นที่ของวงรีที่มีแกนเอก a และแกนโท b	$A = \pi a b \,\!$
ปริมาตรของทรงกลมที่มีรัศมี r และเส้นผ่านศูนย์กลาง d	$V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{1}{6} \pi d^3 \,\!$
พื้นที่ผิวของทรงกลมที่มีรัศมี r	$A = 4 \pi r^2 \,\!$
ปริมาตรของทรงกระบอกที่สูง h และรัศมี r	$V = \pi r^2 h \,\!$
พื้นที่ผิวของทรงกระบอกที่สูง h และรัศมี r	$A = 2 ( \pi r^2 ) + ( 2 \pi r ) h = 2 \pi r (r + h) \,\!$
ปริมาตรของกรวยที่สูง h และรัศมี r	$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \,\!$
พื้นที่ผิวของกรวยที่สูง h และรัศมี r	$A = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r^2 = \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \,\!$

การวิเคราะห์

• François Viète, 1593:

$\frac2\pi= \frac{\sqrt2}2 \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\ldots$

• สูตรของไลบ์นิซ:

$\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}$

หรือเขียนอีกแบบได้เป็น:

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n+1} = \frac{\pi}{4}$

• ผลคูณของ Wallis:

$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}$

$\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)^2}{(2n)^2-1} = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{2n-1} \cdot \frac{2n}{2n+1} = \frac{\pi}{2}$

• สูตรปริพันธ์จากแคลคูลัส:

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}$

• ปัญหาของBasel, ถูกแก้เป็นครั้งแรกโดย ออยเลอร์ (ดูเพิ่มเติม ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์):

$\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$

$\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}$

• ฟังก์ชันแกมมา เมื่อหาค่า 1/2:

$\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}$

• สูตรของสเตอร์ลิง:

$n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$

• เอกลักษณ์ของออยเลอร์ (เรียกโดย ริชาร์ด ไฟน์แมน):

$e^{i \pi} + 1 = 0\;$

เศษส่วนต่อเนื่อง

π เขียนในรูปเศษส่วนต่อเนื่องได้หลายแบบ เช่น

$\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{36}{13 + ...}}}}}}$

ทฤษฎีจำนวน

• ความน่าจะเป็นในการสุ่มจำนวนเต็มขึ้นมา 2 จำนวน แล้วเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน เท่ากับ 6/π²

ฟิสิกส์

• หลักการความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์ก:

$\Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$

• สมการสนามของไอน์สไตน์ ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป:

$R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik}$

• กฎของคูลอมบ์ สำหรับแรงไฟฟ้า:

$F = \frac{\left|q_1q_2\right|}{4 \pi \epsilon_0 r^2}$

ดูเพิ่ม

• แคลคูลัส
• เรขาคณิต
• ฟังก์ชันตรีโกณมิติ