พหุนามฟีโบนัชชี

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

พหุนามฟีโบนัชชี (อังกฤษ: Fibonacci polynomial) คือลำดับพหุนาม (polynomial sequence) ซึ่งสามารถเรียกได้ว่าเป็นรูปแบบทั่วไปของจำนวนฟีโบนัชชี (Fibonacci number) และพหุนามที่สร้างจากรูปแบบเดียวกันนี้แต่ด้วยจำนวนลูคัส (Lucas number) นั้นเรียกว่าพหุนามลูคัส (Lucas polynomial)

นิยาม[แก้]

พหุนามฟีโบนัชชีนิยามโดยความสัมพันธ์เวียนเกิด (recurrence relation) :[1]

F_n (x) = \begin{cases}
0, & \mbox{if } n = 0\\
1, & \mbox{if } n = 1\\
x F_{n - 1} (x) + F_{n - 2} (x), & \mbox{if } n \geq 2
\end{cases}

โดยจะเห็นได้ว่าพจน์แรก ๆ ของพหุนามฟีโบนัชชีคือ:

F_0 (x) =0 \,
F_1 (x) =1 \,
F_2 (x) =x \,
F_3 (x) =x^2+1 \,
F_4 (x) =x^3+2x \,
F_5 (x) =x^4+3x^2+1 \,
F_6 (x) =x^5+4x^3+3x \,

พหุนามลูคัสก็ได้นำความสัมพันธ์เวียนเกิดเดียวกันกับพหุนามฟีโบนัชชีเพียงแต่ได้เริ่มต้นด้วยค่าที่แตกต่างกันออกไปดังที่แสดงต่อไปนี้ :[2]

L_n (x) = \begin{cases}
2, & \mbox{if } n = 0 \\
x, & \mbox{if } n = 1 \\
x L_{n - 1} (x) + L_{n - 2} (x), & \mbox{if } n \geq 2.
\end{cases}

โดยจะเห็นได้ว่าพจน์แรก ๆ ของพหุนามลูคัสคือ:

L_0 (x) =2 \,
L_1 (x) =x \,
L_2 (x) =x^2+2 \,
L_3 (x) =x^3+3x \,
L_4 (x) =x^4+4x^2+2 \,
L_5 (x) =x^5+5x^3+5x \,
L_6 (x) =x^6+6x^4+9x^2 + 2. \,

เราสามารถได้จำนานฟีโบนัชชีและจำนวนลูคัสจากการแทนค่าให้  x = 1 จำนวนเพล (Pell number) ก็สามารถได้จากการคำนวณพจน์  F_n ที่  x = 2 โดยที่ ดีกรีของ  F_n คือ  n-1 และดีกรีของ  L_n คือ  n

ฟังก์ชันก่อกำเนิดสามัญ (ordinary generating function) สำหรับลำดับคือ :[3]

 \sum_{n=0}^\infty F_n (x) t^n = \frac{t}{1-xt-t^2}.
 \sum_{n=0}^\infty L_n (x) t^n = \frac{2-xt}{1-xt-t^2}.

พหุนามดังกล่าวทั้งสองสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของลำดับลูคัส (Lucas sequence)

F_n (x) = U_n (x, -1), \,
L_n (x) = V_n (x, -1).\,

เอกลักษณ์[แก้]

เนื่องจากพหุนามฟีโบนัชชีนั้นเป็นกรณีย่อยของลำดับลูคัส ดังนั้นพหุนามฟีโบนัชชีจึงมีเอกลักษณ์เหมือนลำดับลูคัสดังต่อไปนี้

ในขั้นแรกเรากำหนดนิยามให้แก่ดัชนีที่เป็นลบก่อน (negative indice) ในกรณีคือ  -n โดยนิยามว่า [4]

F_{-n} (x) = (-1) ^{n-1}F_{n} (x), \, L_{-n} (x) = (-1) ^nL_{n} (x).

และมีเอกลักษณ์อื่นอีกที่ตามมา:[4]

F_{m+n} (x) =F_{m+1} (x) F_n (x) +F_m (x) F_{n-1} (x) \,
L_{m+n} (x) =L_m (x) L_n (x) - (-1) ^nL_{m-n} (x) \,
F_{n+1} (x) F_{n-1} (x) - F_n (x) ^2= (-1) ^n\,
F_{2n} (x) =F_n (x) L_n (x).\,

โดยที่รูปแบบปิด (Closed form expression) ของ  F_n (x) จะคล้ายกับสูตรของบิเน็ท (Binet's formula) :[4]

F_n (x) =\frac{\alpha (x) ^n-\beta (x) ^n}{\alpha (x) -\beta (x)}, \, L_n (x) =\alpha (x) ^n+\beta (x) ^n,

เมื่อ

\alpha (x) =\frac{x+\sqrt{x^2+4}}{2}, \, \beta (x) =\frac{x-\sqrt{x^2+4}}{2}

เป็นผลตอบ  t ที่ได้จากสมการ

t^2-xt-1=0.\,

มุมมองจากคณิตศาสตร์เชิงการจัด[แก้]

ค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามฟีโบนัชชีสามารถหากได้จากสามเหลี่ยมปาสกาล ตามเส้นทแยงสีแดงดังรูป และผลบวกของค่าค่าสัมประสิทธิ์ดังกล่าวคือจำนวนฟีโบนัชชีนั้นเอง

ถ้าให้ F (n, k) คือค่าสัมประสิทธิ์ xk ใน Fn (x) เราจะเขียน  F_n (x) ใหม่ได้ว่า

F_n (x) =\sum_{k=0}^n F (n, k) x^k, \,

นั้นก็คือว่า F (n, k) คือจำนวนวิธีที่สีเหลี่ยมขนาด (n−1) × 1 จะถูกเติมเต็มได้โดยสี่เหลี่ยมขนาด 2 × 1 และสี่เหลี่ยมขนาด 1 × 1 และโดยมีเงื่อนไขว่าให้ใช้สี่เหลี่ยมขนาด 1 × 1 จำนวน k อันเท่านั้น [1] ซึ่งนั้นก็หมายความว่า ประพจน์ที่กล่าวมาก่อนหน้านี้สมมูลกันกับการที่มองว่า F (n, k) เป็นจำนวนวิธีในการเขียน n−1 ในรูปของการประกอบของการบวก (Composition) ที่เกี่ยวข้องกับการบวกกันระหว่างเลข 1 และ 2 โดยที่กำหนดว่าเลข 1 นั้นจะต้องถูกใช้ในการประกอบการบวกเพียงแค่ k ครั้งเท่านั้น

ตัวอย่างเช่น กรณี F (6, 3) = 4 เราจะเห็นได้ว่า 6-1 = 5 สามารถเขียนโดยใช้เลข 2 และ 1 ได้ใน F (6, 3) = 4 วิธี นั้นคือ 1+1+1+2, 1+1+2+1, 1+2+1+1, 2+1+1+1 (จำนวนครั้งที่การประกอบการบวกที่มีเพียง 1 และ 2 ถูกนำมาใช้ประกอบการบวก และภายใต้เงื่อนไขที่ว่า 1 ถูกนำมาใช้ 3 ตัว นั้นมี 4 วิธี) หรือกล่าวในอีกทางหนึ่งว่า F (n, k) นั้นก็คือ สัมประสิทธิ์ทวินาม (binomial coefficient) ที่มีความสัมพันธ์ดังนี้

F (n, k) =\binom{\tfrac{n+k-1}{2}}{k}

เมื่อ n และ k คือ ภาวะคู่หรือคี่ที่อยู่ตรงข้ามกัน (opposite parity) และนั้นนำไปสู่การใช้สามเหลี่ยมปาสกาล ในการหาค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามฟีโบนัชชีดังที่แสดงในรูปด้านซ้ายมือ

อ้างอิง[แก้]

ดูเพิ่ม[แก้]

  • Hoggatt, V. E.; Bicknell, Marjorie (1973). "Roots of Fibonacci polynomials.". Fibonacci Quarterly 11: 271–274. ISSN 0015-0517. MR 0332645. 
  • Hoggatt, V. E.; Long, Calvin T. (1974). "Divisibility properties of generalized Fibonacci Polynomials". Fibonacci Quarterly 12: 113. MR 0352034. 
  • Ricci, Paolo Emilio (1995). "Generalized Lucas polynomials and Fibonacci polynomials". Rivista di Matematica della Università di Parma. V. Ser. 4: 137–146. MR 1395332. 
  • Yuan, Yi; Zhang, Wenpeng (2002). "Some identities involving the Fibonacci Polynomials". Fibonacci Quarterly 40 (4): 314. MR 1920571. 
  • Cigler, Johann (2003). "q-Fibonacci polynomials". Fibonacci Quarterly (41): 31–40. MR 1962279. 

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]