ปัญหาแฮปปี้เอ็นดิ้ง

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ปัญหาแฮปปี้เอ็นดิ้ง: สำหรับจุดห้าจุดใดๆในระนาบ จะต้องมีจุดสี่จุดซึ่งทำให้เกิดสี่เหลี่ยมนูน
เซตของจุดแปดจุดที่ไม่มีจุดห้าจุดใดๆที่ทำให้เกิดห้าเหลี่ยมนูน

ปัญหาแฮปปี้เอ็นดิ้ง เป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์ ตั้งชื่อโดยพอล แอร์ดิช หลังจากปัญหานี้ทำให้เกิดการแต่งงานของ George Szekeres และ Esther Klein มีดังนี้

สำหรับจุดห้าจุดใด ๆ ในระนาบ จะต้องมีจุดสี่จุดซึ่งทำให้เกิดสี่เหลี่ยมนูน

ปัญหาที่ใหญ่ขึ้น[แก้]

แอร์ดิช และ Szekeres ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทดังนี้

สำหรับจำนวนเต็มบวก N ใดๆ มีเซตจำกัดของจุดบนระนาบที่มีจุด N จุดภายในเซตนั้น ซึ่งทำให้เกิดรูป N เหลี่ยมนูน

ให้ f(N) แทนค่า M ที่น้อยที่สุดที่ทำให้เซตของจุด M จุดใดๆ จะต้องมีจุด N จุดภายในเซตนั้น ซึ่งทำให้เกิดรูป N เหลี่ยมนูน

  • f(3) = 3
  • f(4) = 5 (พิสูจน์โดย Esther Klein)
  • f(5) = 9 (พิสูจน์โดย E. Makai ตีพิมพ์ครั้งแรกใน พ.ศ. 2513)
  • f(6) = 17 (พิสูจน์โดย Szekeres and Lindsay Peters โดยใช้คอมพิวเตอร์)

สำหรับ F(N) เมื่อ N เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ ยังไม่มีสูตรที่ใช้หา แอร์ดิชและ Szekeres ตั้งข้อคาดเดาไว้ว่า

f(N) = 1 + 2^{N-2} \quad \mbox{for all } N \geq 3

ในปี พ.ศ. 2504 แอร์ดิชและ Szekeres พิสูจน์ได้ว่า

f(N) \geq 1 + 2^{N-2}

ขอบเขตบนของ f(N) เมื่อ N \geq 5 ที่ดีที่สุดเท่าที่ทราบในปัจจุบันคือ

f(N) \leq {2N-5 \choose N-3} + 1 = \Theta\left(\frac{4^N}{\sqrt N}\right)

อ้างอิง[แก้]

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]