ปัญหาวันเกิด

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ปัญหาวันเกิด หรือ ปฏิทรรศน์วันเกิด [1] ในเรื่องทฤษฎีความน่าจะเป็น เกี่ยวข้องกับความน่าจะเป็นที่กลุ่มคนซึ่งถูกเลือกโดยการสุ่ม n คน จะมีบางคู่ในกลุ่มที่มีวันเกิดตรงกัน หากพิจารณาตามหลักรังนกพิราบ ความน่าจะเป็นดังกล่าวจะเป็น 100% ถ้าจำนวนคนในกลุ่มมี 367 คน (เนื่องจากวันที่เป็นไปได้ทั้งหมดมี 366 วัน รวม 29 กุมภาพันธ์ด้วย) อย่างไรก็ตาม ความน่าจะเป็น 99% จะเกิดกับกลุ่มคนเพียง 57 คน และความน่าจะเป็น 50% จะเกิดกับกลุ่มคนเพียง 23 คน การสรุปเหล่านี้ใช้พื้นฐานบนสมมติฐานว่า แต่ละวันของปีมีความเป็นไปได้ที่จะเป็นวันเกิดอย่างเท่าเทียมกัน (ยกเว้น 29 กุมภาพันธ์)

คณิตศาสตร์ที่อยู่เบื้องหลังปัญหานี้นำไปสู่ปัญหาการโจมตีทางวิทยาการเข้ารหัสลับอันเป็นที่รู้จักเรียกว่า การโจมตีวันเกิด ซึ่งใช้ตัวแบบความน่าจะเป็นนี้ลดความซับซ้อนในการเจาะฟังก์ชันแฮช

กราฟแสดงความน่าจะเป็นโดยการคำนวณ ที่คนอย่างน้อยสองคนจะมีวันเกิดตรงกัน ในระหว่างกลุ่มคนตามจำนวนที่แน่นอน

ความเข้าใจในตัวปัญหา[แก้]

ปัญหาวันเกิดถามว่า คนหนึ่งคนใดในกลุ่มที่กำหนด มีวันเกิดตรงกับคนอื่นคนใดหรือไม่ มิได้ถามเฉพาะเจาะจงว่าตรงกับคนหนึ่งเพียงคนเดียวหรือไม่

ตัวอย่างที่ให้มาก่อนหน้านี้คือกลุ่มคน 23 คน การเปรียบเทียบวันเกิดของคนแรกกับวันเกิดของคนอื่นจะมีโอกาส 22 ครั้งเพื่อหาว่าวันเกิดตรงกันหรือไม่ วันเกิดของคนที่สองกับวันเกิดของคนอื่นก็จะมีโอกาส 21 ครั้ง วันเกิดของคนที่สามก็จะมีโอกาส 20 ครั้ง เป็นเช่นนี้ต่อไปเรื่อย ๆ เพราะฉะนั้นโอกาสรวมทั้งหมดที่จะเปรียบเทียบคือ 22 + 21 + 20 + ... + 1 = 253 ครั้ง ดังนั้นการเปรียบเทียบทุก ๆ คนกับคนอื่นทั้งหมดจะทำได้ 253 วิธีที่แตกต่างกัน (การจัดหมู่) หรือกล่าวได้ว่า กลุ่มคน 23 คนสามารถจับคู่ได้ทั้งหมด \textstyle {23 \choose 2} = \frac{23 \cdot 22}{2} = 253 คู่

สมมติว่าวันเกิดทั้งหมดสามารถเป็นไปได้อย่างเท่าเทียมกัน [2][3][4] ความน่าจะเป็นที่วันที่ตั้งขึ้นมาจะเป็นวันเกิดของใครสักคน ซึ่งเลือกมาโดยการสุ่มจากประชากรทั้งหมดอยู่ที่ 1/365 (ไม่พิจารณาอธิกวารคือ 29 กุมภาพันธ์) ถึงแม้การจับคู่ภายในกลุ่มคน 23 คน ไม่เทียบเท่าเชิงสถิติศาสตร์กับการเลือกคู่โดยอิสระ 253 คู่ ปฏิทรรศน์วันเกิดจะแปลกประหลาดน้อยลง ถ้ากลุ่มคนถูกพิจารณาว่าเป็นจำนวนคู่ที่เป็นไปได้ทั้งหมด มากกว่าที่จะเป็นจำนวนรายคน

การคำนวณความน่าจะเป็น[แก้]

ปัญหาคือการคำนวณความน่าจะเป็นโดยประมาณว่า ในกลุ่มคน n คน จะมีอย่างน้อยสองคนที่มีวันเกิดตรงกัน สำหรับกรณีง่ายสุดคือไม่สนใจความแปรปรวนในการแจกแจง เช่นปีอธิกสุรทิน ฝาแฝด ความแปรปรวนเชิงฤดูกาลหรือวันในสัปดาห์ และสมมติว่าวันเกิดที่เป็นไปได้ 365 วันอย่างเท่าเทียมกัน การแจกแจงวันเกิดในชีวิตจริงไม่เป็นเอกรูปเพราะทุกวันมิได้มีโอกาสอย่างเท่าเทียมกัน

ถ้าให้ P(A) คือความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยสองคนในกลุ่มมีวันเกิดตรงกัน เราอาจคำนวณง่ายขึ้นจาก P(A′) คือความน่าจะเป็นที่ไม่มีสองคนใดเลยที่มีวันเกิดตรงกัน เนื่องจาก A และ A′ เป็นความน่าจะเป็นเพียงสองประการที่จะเกิดขึ้นได้และเป็นเหตุการณ์ไม่เกิดร่วม ดังนั้นเราจะได้ P(A) = 1 − P(A′)

คำตอบของปัญหาที่เผยแพร่อย่างกว้างขวางสรุปว่า กลุ่มคน 23 คนก็เพียงพอที่จะทำให้ P(A) มีค่ามากกว่า 50% การคำนวณ P(A) ต่อไปนี้จะใช้กลุ่มคน 23 คนมาเป็นตัวอย่าง

เมื่อเหตุการณ์เป็นอิสระซึ่งกันและกัน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ทั้งหมดที่เกิดขึ้น จะเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น เพราะฉะนั้น P(A′) จึงสามารถแยกได้เป็นเหตุการณ์อิสระ 23 เหตุการณ์ และคำนวณได้จาก P(1) × P(2) × P(3) × ... P(23)

เหตุการณ์อิสระ 23 เหตุการณ์นี้สอดคล้องกับจำนวนคน 23 คนและสามารถนิยามไปตามลำดับ แต่ละเหตุการณ์สามารถนิยามว่าคนนั้นจะไม่มีวันเกิดตรงกับคนอื่นคนใดที่ได้วิเคราะห์ไปแล้วก่อนหน้า สำหรับเหตุการณ์ที่ 1 คือไม่มีคนอื่นคนใดก่อนหน้านี้ให้วิเคราะห์เลย เพราะฉะนั้นความน่าจะเป็น P(1) ซึ่งคนแรกไม่มีวันเกิดตรงกับคนอื่นคนใดที่ได้วิเคราะห์ไปแล้วก่อนหน้าเท่ากับ 1 หรือ 100% หรือเขียนในรูปแบบ 365/365 โดยไม่พิจารณาอธิกวารสำหรับการวิเคราะห์นี้ ส่วนเหตุผลจะได้ปรากฏชัดเจนต่อไป

สำหรับเหตุการณ์ที่ 2 คือมีเพียงคนที่หนึ่งที่ได้วิเคราะห์แล้วก่อนหน้านี้ สมมติว่าวันเกิดเป็นไปได้อย่างเท่าเทียมกัน 365 วันเช่นเดิม ความน่าจะเป็น P(2) ซึ่งคนที่สองมีวันเกิดต่างกับคนที่หนึ่งเท่ากับ 364/365 นั่นเป็นเพราะถ้าคนที่สองเกิดในวันใดก็ได้ในจำนวน 364 วันที่เหลือ ทำให้คนที่หนึ่งกับคนที่สองมีวันเกิดไม่ตรงกัน

ในทางเดียวกัน ถ้าคนที่สามเกิดในวันใดก็ได้ในจำนวน 363 วันที่เหลือ ทำให้ทั้งคนที่หนึ่ง ที่สอง ที่สาม มีวันเกิดไม่ตรงกันเลย จะได้ความน่าจะเป็น P(3) เท่ากับ 363/365

การวิเคราะห์เช่นนี้ดำเนินต่อไปจนกระทั่งถึงคนที่ยี่สิบสาม ซึ่งความน่าจะเป็นที่วันเกิดจะไม่ตรงกับคนที่ได้วิเคราะห์ไปแล้วก่อนหน้านี้เลย P(23) เท่ากับ 343/365

P(A′) เท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นรายเหตุการณ์เหล่านี้ นั่นคือ

P(A′) = 365/365 × 364/365 × 363/365 × 362/365 × ... × 343/365

สมการดังกล่าวสามารถดึงตัวประกอบร่วมได้เป็น

P(A′) = (1/365)23 × (365 × 364 × 363 × 362 × ... × 343)

ประเมินค่าออกมาจะได้ P(A′) ≈ 0.492703

ดังนั้น P(A) ≈ 1 − 0.492703 = 0.507297 หรือ 50.7297%

กระบวนการนี้สามารถทำให้เป็นกรณีทั่วไปสำหรับกลุ่มคน n คน เมื่อ p(n) คือความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยสองคนในกลุ่ม n คนมีวันเกิดตรงกัน เราคำนวณง่ายขึ้นด้วย (n) คือความน่าจะเป็นที่วันเกิดของ n คนแตกต่างกันทั้งหมด ตามหลักรังนกพิราบ (n) จะเป็นศูนย์เมื่อ n > 365 และเมื่อ n ≤ 365 จะได้ว่า

 \begin{align} \bar p(n) &= 1 \times \left(1-\frac{1}{365}\right) \times \left(1-\frac{2}{365}\right) \times \cdots \times \left(1-\frac{n-1}{365}\right) \\  &= { 365 \times 364 \times \cdots \times (365-n+1) \over 365^n } \\ &= { 365! \over 365^n (365-n)!} = \frac{n!\cdot{365 \choose n}}{365^n} = \frac{^{365}P_n}{365^n}\end{align}

โดยสัญลักษณ์ ! คือตัวดำเนินการแฟกทอเรียล \textstyle {365 \choose n} คือสัมประสิทธิ์ทวินาม และ {^{k}P_r} หมายถึงการเรียงสับเปลี่ยน

สมการดังกล่าวแสดงข้อเท็จจริงว่า สำหรับคนที่หนึ่งไม่มีคนใดที่มีวันเกิดตรงกัน (365/365) สำหรับคนที่สองก็ไม่มีวันเกิดตรงกับคนที่หนึ่ง (364/365) สำหรับคนที่สามก็ไม่มีวันเกิดตรงกับคนที่หนึ่งและที่สอง (363/365) ฯลฯ และในกรณีทั่วไปวันเกิดของคนที่ n ก็จะไม่มีวันเกิดตรงกับ n − 1 คนที่อยู่ก่อนหน้า

เหตุการณ์ที่อย่างน้อยสองคนจากกลุ่มคน n คนมีวันเกิดตรงกัน คือเหตุการณ์เติมเต็มที่วันเกิดของ n คนแตกต่างกันทั้งหมด เพราะฉะนั้นความน่าจะเป็น p(n) จะมีค่าเท่ากับ

 p(n) = 1 - \bar p(n) \,

ความน่าจะเป็นนี้มีค่าเกินกว่า 1/2 เมื่อ n = 23 (ค่าจริงประมาณ 50.7%) ตารางต่อไปนี้แสดงความน่าจะเป็นสำหรับ n อื่น ๆ บางค่า (โดยไม่พิจารณาปีอธิกสุรทินตามที่ได้อธิบายแล้วด้านบน)

กราฟแสดงความน่าจะเป็นโดยประมาณ ที่ไม่มีใครเลยในกลุ่มคน n คนมีวันเกิดตรงกัน สังเกตว่ามาตราส่วนตามแนวตั้งเป็นลอการิทึม (แต่ละขีดจากบนลงล่างลดลงทีละ 1020 เท่า)
n p(n)
10 11.7%
20 41.1%
23 50.7%
30 70.6%
50 97.0%
57 99.0%
100 99.99997%
200 99.9999999999999999999999999998%
300 (100 − (6×10−80))%
350 (100 − (3×10−129))%
365 (100 − (1.45×10−155))%
366 100%

การประมาณค่า[แก้]

กราฟแสดงความน่าจะเป็นโดยประมาณ ที่คนอย่างน้อยสองคนจะมีวันเกิดตรงกัน (แดง) และเหตุการณ์เติมเต็มของมัน (น้ำเงิน)
กราฟแสดงความแม่นยำของการประมาณค่าด้วย 1-e^{-n^2/(2 \times 365)} (ขาว)

การกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (ค่าคงตัว e ≈ 2.718281828)

 e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!}+\cdots

สามารถประมาณค่า ex อันดับที่หนึ่งเมื่อ x ≪ 1 ดังนี้

 e^x \approx 1 + x \

เพื่อใช้การประมาณนี้แก่นิพจน์แรกที่มาจาก (n) กำหนดให้ x = i/365 ดังนั้นเราจะได้

 e^{-i/365} \approx 1 - \frac{i}{365} \

จากนั้นแทนที่ i ด้วยจำนวนเต็มไม่เป็นลบสำหรับแต่ละพจน์ในสูตรของ (n) จนกระทั่ง i = n − 1 ตัวอย่างเช่นเมื่อ i = 1 จะได้

 e^{-1/365} \approx 1 - \frac{1}{365} \

นิพจน์แรกที่มาจาก (n) จึงสามารถประมาณค่าได้ดังนี้


\begin{align}
\bar p(n) & \approx 1 \times e^{-1/365} \times e^{-2/365} \cdots e^{-(n-1)/365} \\
& = 1 \times e^{-(1+2+ \cdots +(n-1))/365} \\
& = e^{-(n(n-1)/2) / 365}
\end{align}

เพราะฉะนั้น

 p(n) = 1-\bar p(n) \approx 1 - e^{- n(n-1)/(2 \times 365)}

การประมาณที่หยาบกว่าของสูตรดังกล่าวคือ

 p(n) \approx 1-e^{- n^2/(2 \times 365)}

ซึ่งยังคงแม่นยำพอใช้ได้ ดังที่เห็นจากกราฟในภาพประกอบ

จากการประมาณค่าดังกล่าว แนวทางที่เหมือนกันสามารถใช้ได้กับ "คน" และ "วัน" จำนวนเท่าใดก็ได้ ถ้าให้จำนวนวันเป็น n วันแทนที่จะเป็น 365 วัน ให้จำนวนคน m คน และ mn จากแนวทางข้างต้นเราจะได้ผลสำเร็จเป็น Pr[(m, n)] คือความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยสองคนในกลุ่ม m คน มีวันเกิดตรงกันภายใน n วันที่กำหนด ดังนี้

 Pr[(m, n)] \approx 1-e^{-m^2 / 2n} \

การยกกำลังอย่างง่าย[แก้]

ความน่าจะเป็นที่คนสองคนไม่มีวันเกิดตรงกันเท่ากับ 364/365 หากกลุ่มคนมีจำนวน n คน จะสามารถจับคู่ได้ C(n, 2) = n(n − 1)/2 คู่ หรือเรียกได้ว่ามี C(n, 2) เหตุการณ์ ความน่าจะเป็นที่คนสองคนไม่มีวันเกิดตรงกันในกลุ่มคนดังกล่าว สามารถประมาณได้จากเหตุการณ์เหล่านี้ซึ่งสมมติว่าเป็นอิสระต่อกัน โดยคูณความน่าจะเป็นของพวกมันเข้าด้วยกัน กล่าวอย่างสั้นคือ 364/365 สามารถคูณกับตัวเองเป็นจำนวน C(n, 2) ตัว จะได้

\bar p(n) \approx \left(\frac{364}{365}\right)^{C(n,2)}

เนื่องจากสิ่งนี้คือความน่าจะเป็นที่ไม่มีใครมีวันเกิดตรงกัน ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะมีใครบางคนมีวันเกิดตรงกันก็คือ

p(n) \approx 1 - \left(\frac{364}{365}\right)^{C(n,2)}

การประมาณปัวซง[แก้]

ใช้การประมาณปัวซงสำหรับทวินามกับกลุ่มคน 23 คน

\mathrm{Poi}\left(\frac{C(23, 2)}{365}\right) =\mathrm{Poi}\left(\frac{253}{365}\right) \approx \mathrm{Poi}(0.6932)
\Pr(X>0)=1-\Pr(X=0) \approx 1-e^{-0.6932} \approx 1-0.499998=0.500002

ผลลัพธ์มีค่ามากกว่า 50% เช่นเดียวกับที่ได้อธิบายไว้ก่อนหน้านี้

การประมาณจำนวนคน[แก้]

การประมาณจำนวนคนเท่าที่จำเป็นที่จะทำให้เกิดโอกาส 50% เป็นอย่างน้อยที่จะมีวันเกิดตรงกัน โดยแฟรงก์ เอช. แมทิส สามารถหาได้จากสูตรดังนี้

n \approx \frac{1}{2} + \sqrt{\frac{1}{4} - 2 \times 365 \times \ln(0.5)} = 22.999943

นี่เป็นผลลัพธ์ของการประมาณที่ดี ซึ่งเหตุการณ์ 1 ใน k ของความน่าจะเป็นจะมีโอกาสเกิดขึ้น 50% เป็นอย่างน้อย ถ้าเหตุการณ์นั้นเกิดซ้ำ k ln 2 ครั้ง [5]

ตารางความน่าจะเป็น[แก้]

ความยาว
สายอักขระ
ฐานสิบหก
#บิต ขนาดของ
ปริภูมิแฮช
(2#บิต)
จำนวนสมาชิกของแฮชที่ทำให้ {ความน่าจะเป็นที่แฮชชนกันอย่างน้อยหนึ่งครั้ง = p}
p = 10−18 p = 10−15 p = 10−12 p = 10−9 p = 10−6 p = 0.1% p = 1% p = 25% p = 50% p = 75%
8 32 4.3×109 2 2 2 2.9 93 2.9×103 9.3×103 5.0×104 7.7×104 1.1×105
16 64 1.8×1019 6.1 1.9×102 6.1×103 1.9×105 6.1×106 1.9×108 6.1×108 3.3×109 5.1×109 7.2×109
32 128 3.4×1038 2.6×1010 8.2×1011 2.6×1013 8.2×1014 2.6×1016 8.3×1017 2.6×1018 1.4×1019 2.2×1019 3.1×1019
64 256 1.2×1077 4.8×1029 1.5×1031 4.8×1032 1.5×1034 4.8×1035 1.5×1037 4.8×1037 2.6×1038 4.0×1038 5.7×1038
(96) (384) (3.9×10115) 8.9×1048 2.8×1050 8.9×1051 2.8×1053 8.9×1054 2.8×1056 8.9×1056 4.8×1057 7.4×1057 1.0×1058
128 512 1.3×10154 1.6×1068 5.2×1069 1.6×1071 5.2×1072 1.6×1074 5.2×1075 1.6×1076 8.8×1076 1.4×1077 1.9×1077

ช่องสีขาวในตารางนี้แสดงจำนวนสมาชิกของแฮชที่จำเป็น ที่ทำให้ความน่าจะเป็นที่แฮชชนกันตามกำหนด (ตามหลัก) โดยกำหนดปริภูมิแฮชในหน่วยบิตขนาดต่าง ๆ (ตามแถว) อุปมากับปัญหาวันเกิดได้ว่า "ขนาดของปริภูมิแฮช" คล้ายกับ "จำนวนวันที่ใช้ได้", "ความน่าจะเป็นที่แฮชชนกัน" คล้ายกับ "ความน่าจะเป็นที่คนมีวันเกิดตรงกัน", และ "จำนวนสมาชิกของแฮชที่จำเป็น" ก็คล้ายกับ "จำนวนคนที่จำเป็นในกลุ่ม" แน่นอนว่าใครก็ตามสามารถใช้แผนผังนี้เพื่อกำหนดขนาดของแฮชน้อยสุดที่จำเป็น (โดยกำหนดขอบเขตบนของแฮชและความน่าจะเป็นของความผิดพลาด) หรือความน่าจะเป็นที่แฮชชนกันได้ (เพื่อหาจำนวนแฮชตายตัวและความน่าจะเป็นของความผิดพลาด)

ยกตัวอย่างเพื่อการเปรียบเทียบ ความน่าจะเป็น 10−18 ถึง 10−15 คืออัตราความผิดพลาดบิตที่แก้ไขไม่ได้ของฮาร์ดดิสก์ทั่วไป [6] ฟังก์ชันแฮช 128 บิตอย่างเช่น เอ็มดี5 จึงควรดำรงอยู่ในช่วงนั้นจนกว่าจะแฮชเอกสารไปแล้วประมาณ 8.2 แสนล้านเอกสารในทางทฤษฎี ถึงแม้ว่าผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของมันจะมีได้มากยิ่งกว่านั้น

ขอบเขตบน[แก้]

การอ้างเหตุผลด้านล่างดัดแปลงจากการอ้างเหตุผลของพอล ฮาลโมส [7]

ความน่าจะเป็นที่ไม่มีวันเกิดของคนใดตรงกัน ดังที่ได้อธิบายไว้ด้านบนคือ

1-p(n) = \bar p(n) = \prod_{k=1}^{n-1}\left(1-{k \over 365}\right)

จากย่อหน้าก่อน ๆ นั้น สิ่งที่สนใจคือค่าของ n น้อยสุดที่ทำให้ p(n) > 1/2 หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่าของ n น้อยสุดที่ทำให้ (n) < 1/2

ใช้อสมการ 1 − x < ex จากนิพจน์ด้านบนซึ่งเราได้แทนค่า 1 − k/365 ด้วย ek/365 จะได้ว่า

\bar p(n) = \prod_{k=1}^{n-1}\left(1-{k \over 365}\right) < \prod_{k=1}^{n-1}\left(e^{-k/365}\right) = e^{-(n(n-1))/(2\times 365)}

เพราะฉะนั้น นิพจน์ดังกล่าวมิได้เป็นเพียงแค่การประมาณค่า แต่ยังเป็นขอบเขตบนของ (n) ด้วย

อสมการนี้

e^{-(n(n-1))/(2\cdot 365)} < \frac{1}{2}

แสดงนัยถึง (n) < 1/2 แก้อสมการเพื่อหาค่า n จะได้

n^2-n > 2\times365\ln 2 \,\!

730 ln 2 มีค่าประมาณ 505.997 ซึ่งน้อยกว่า 506 เล็กน้อย ค่าของ n2n ขึ้นมาถึง 506 เมื่อ n = 23 ดังนั้น 23 คนก็เพียงพอที่จะเป็นคำตอบ

อย่างไรก็ดี การแก้สมการ n2n = 2 · 365 ln 2 เพื่อหาค่า n ก็จะเป็นสูตรประมาณของแฟรงก์ เอช. แมทิส ดังที่ได้แสดงไว้แล้ว

การได้มานี้แสดงเพียงว่า 23 คนเป็นจำนวนคนที่ มากสุด ที่จำเป็นเพื่อให้แน่ใจว่าวันเกิดจะตรงกันด้วยโอกาสครึ่งต่อครึ่ง กล่าวคือมันเปิดโอกาสความเป็นไปได้ว่าหาก n เท่ากับ 22 คนหรือน้อยกว่าก็อาจได้ผลเช่นกัน

อ้างอิงและเชิงอรรถ[แก้]

  1. คำว่า "ปฏิทรรศน์" นี้มิได้หมายถึงความรู้สึกที่นำไปสู่ความขัดแย้งทางตรรกศาสตร์ แต่ถูกหยิบยกขึ้นเนื่องจากความจริงทางคณิตศาสตร์ขัดแย้งกับการหยั่งรู้ด้วยตนเอง กล่าวคือคนส่วนใหญ่มักประมาณว่าโอกาสที่คนสองคนจะมีวันเกิดตรงกันต้องน้อยกว่า 50% อย่างมาก สำหรับกลุ่มคน 23 คน
  2. ในความเป็นจริง วันเกิดไม่แจกแจงตลอดทั้งปีอย่างเท่าเทียมกัน การเกิดต่อวันในบางฤดูกาลมีมากกว่าฤดูกาลอื่น แต่เพื่อจุดมุ่งหมายของปัญหานี้ การแจกแจงจะถูกทำให้เป็นเอกรูป (รูปแบบเดียว)
  3. Murphy, Ron. "An Analysis of the Distribution of Birthdays in a Calendar Year". สืบค้นเมื่อ 2011-12-27. 
  4. Mathers, C D; R S Harris (1983). "Seasonal Distribution of Births in Australia". International Journal of Epidemiology 12 (3): 326–331. doi:10.1093/ije/12.3.326. สืบค้นเมื่อ 2011-12-27. 
  5. Mathis, Frank H. (June 1991). "A Generalized Birthday Problem". SIAM Review (Society for Industrial and Applied Mathematics) 33 (2): 265–270. doi:10.1137/1033051. ISSN 0036-1445. JSTOR 2031144. OCLC 37699182. 
  6. Jim Gray, Catharine van Ingen. Empirical Measurements of Disk Failure Rates and Error Rates
  7. ฮาลโมสได้วิจารณ์รูปแบบของปฏิทรรศน์วันเกิดที่มักจะถูกนำเสนอ ด้วยการคำนวณเชิงตัวเลขในอัตชีวประวัติของเขา เขาเชื่อว่ามันควรใช้เป็นตัวอย่างของมโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ที่นามธรรมมากขึ้น เขาเขียนว่า

    "การให้เหตุผลมีพื้นฐานอยู่บนเครื่องมือสำคัญที่ว่าผู้ศึกษาคณิตศาสตร์ทุกคนควรพร้อมที่จะเข้าถึง ปัญหาวันเกิดเคยเป็นการสาธิตที่ยอดเยี่ยมของความได้เปรียบแห่งความคิดอันบริสุทธิ์เหนือการจัดดำเนินการเชิงกล อสมการสามารถได้มาในนาทีสองนาที ในขณะที่การคูณจะใช้เวลายิ่งกว่านั้นมาก และทำให้เกิดความผิดพลาดมากขึ้นไปอีก ไม่ว่าเครื่องมือนั้นจะเป็นดินสอหรือเครื่องคำนวณบนโต๊ะที่ล้าสมัย สิ่งที่เครื่องคิดเลขไม่ได้ให้ผลลัพธ์ออกมานั่นคือความเข้าใจ หรือคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ หรือพื้นฐานที่หนักแน่นสำหรับทฤษฎีวางนัยทั่วไปชั้นสูงยิ่งขึ้น"