ปัญหาการหาคู่ของจุดที่ใกล้กันที่สุด

ปัญหาการหาระยะทางระหว่างคู่จุดที่ใกล้กันที่สุด (อังกฤษ: closest pair problem) เป็นหนึ่งในงานวิจัยทางด้านเรขาคณิตคำนวณ (Computational Geometry) จากปัญหานี้ถ้าใช้วิธีการหาระยะทางที่ใกล้ที่สุดกับจุดทุกๆ จุด นั้นจะต้องใช้เวลาเป็น Θ(n²) จากเวลาการทำงานยังเป็นเวลาที่สูง จึงได้ทำการแก้ปัญหานี้ซึ่งใช้วิธีการแบ่งแยกและเอาชนะ (Divide and Conquer) โดยที่เวลาการทำงานเป็น $O(nlogn)$ และอัลกอริทึมนี้เป็นอัลกอริทึมแบบอนุกรมที่ดีที่สุดสำหรับปัญหานี้

ลักษณะของปัญหา

โจทย์ : ให้จุด N จุด ซึ่งอยู่บนระนาบ

คำตอบ : หาระยะทางระหว่างคู่จุดที่ใกล้กันที่สุด

โดยมีสูตรการหาระยะทางระหว่างจุด 2 จุด คือ d_i.j = ((x_i-x_j)² + (y_i-y_j)²)^1/2

ปัญหารูปแบบต่างๆ

• จุดทั้งหมดเรียงตัวอยู่ในแนว 1 มิติ นั่นคือ จุดทุกๆจุด เรียงตัวกันบนเส้นตรงเส้นเดียวกัน
• จุดทั้งหมดเรียงตัวอยู่บนระนาบ 2 มิติ

วิธีการแก้ปัญหาแบบ 2 มิติ

1. ขั้นตอนวิธีการแบบบรูทฟอร์ซ (Brute force)

ทำการตรวจสอบระยะทางในทุกๆจุด และนำมาคำนวณหาระยะทางที่มีค่าน้อยที่สุด

รหัสเทียม

closetPair( x[1…n], y[1…n] )

min = infinity

for ( i=1…n)

for ( j=(i+1)…n)

dx = | x[i] – x[j] |

dy = | y[i] – y[j] |

d = sqrt (dx2 + dy2 )

if ( f<min ) min = d

return min

2. ขั้นตอนวิธีการแบบแบ่งแยกและเอาชนะ (Divide and Conquer)

• การแบ่งแยก คือ การมองปัญหาใหญ่ๆ ออกเป็นปัญหาย่อยๆ ซึ่งในปัญหานี้คือการมองพื้นที่ทั้งหมดออกเป็น 2 ส่วน โดยที่แต่ละส่วนมีจำนวนจุดใกล้เคียงกัน
• การเอาชนะ คือ การหาระยะทางระหว่างคู่จุดที่ใกล้กันที่สุด ในพื้นที่แต่ละด้าน โดยใช้ขั้นตอนวิธีการเรียกซ้ำ (Recursive)
• การรวมกัน คือ การหาระยะทางระหว่างคู่จุดที่ใกล้กันที่สุด ซึ่งจุดทั้ง 2 จุดอยู่บนพื้นที่คนละด้านกัน

ลำดับขั้นตอน

• ให้ x เป็นค่าน้อยที่สุดจากระยะทางที่หาได้จากการเรียกซ้ำ
• พิจารณาจากจุดทุกๆจุดซึ่งอยู่บริเวณที่ห่างจากเส้นกั้นกลาง 2 ฝั่ง ด้วยความยาวไม่เกิน x
• เรียงลำดับระยะห่างของจุดทุกๆจุดในบริเวณนั้น โดยเก็บข้อมูลเป็นพิกัดทั้งแนวนอนและแนวตั้ง ซึ่งเป็นการทำให้สามารถระบุได้ว่าจุดใดอยู่ทางฝั่งซ้ายหรือฝั่งขวา
• สร้างกรอบสี่เหลี่ยม ขนาด x * 2x ขึ้นมาบนพื้นที่นั้น ใช้เลื่อนไปตามจุด n คู่ เพื่อนหาระยะที่ใกล้กันที่สุด

สี่เหลี่ยมขนาด x * 2x ใช้เพื่อตรวจหาระยะทางระหว่างจุดคู่ที่ใกล้กันที่สุดจากพื้นที่ตรงเส้นกั้นกลาง

• คำตอบที่ถูกต้อง คือ ระยะที่น้อยที่สุดจากการระยะทางที่ได้จากจุด 2 จุดที่ได้มาจากการคำนวณจากพื้นที่ 2 ฝั่งและพื้นที่ตรงกลาง

ระยะทางระหว่างจุดคู่ที่ใกล้กันที่สุด 3 ระยะ ที่ได้มาจากการคำนวณจากพื้นที่ 2 ฝั่งและพื้นที่ตรงกลาง

ระยะทางระหว่างจุดคู่ที่ใกล้กันที่สุด 3 ระยะ ที่ได้มาจากการคำนวณจากพื้นที่ 2 ฝั่งและพื้นที่ตรงกลาง

รหัสเทียม

ClosestPair(ptsByX, ptsByY, n)

if (n = 1) return ∞

if (n = 2) return distance(ptsByX[0], ptsByX[1])

// มองลักษณะเป็นปัญหาย่อย(การแย่งแยก)

mid ← dn/2e − 1

คัดลอกค่าจาก ptsByX[0 . . . mid] ไปไว้ที่อาเรย์ XL ตำแหน่งที่ x

คัดลอกค่าจาก ptsByX[mid+1 . . . n − 1] ไปไว้ที่อาเรย์ XR ตำแหน่งที่ x

คัดลอกค่าจาก ptsByY ไปไว้ที่อาเรย์ Y L และ Y R ตำแหน่งที่ y , s.t

XL และ Y L อ้างถึงจุดๆเดียวกัน เช่นเดียวกันกับ XR และ Y R

// ขั้นตอนวิธีการเรียกซ้ำเพื่อหาระยะทางที่ใกล้กันที่สุด (การเอาชนะ)

distL ← ClosestPair(XL, Y L, dn/2e)

distR ← ClosestPair(XR, Y R, bn/2c)

// นำมารวมกัน

midPoint ← ptsByX[mid]

lrDist ← min(distL, distR)

สร้างอาเรย์ yStrip ในลำดับที่ y (เพิ่มขึ้น)

สำหรับจุด p ใดๆ ใน ptsByY s.t. |p.x − midPoint.x| < lrDist

minDist ← lrDist

for (j ← 0; j ≤ yStrip.length − 2; j++) {

k ← j + 1

while (k ≤ yStrip.length − 1 and yStrip[k].y − yStrip[j].y < lrDist) {

d ← distance(yStrip[j], yStrip[k])

minDist ← min(minDist, d)

k++

}

}

return minDist

ประสิทธิภาพการทำงาน

• ขั้นตอนวิธีการแบบบรูทฟอร์ซ

เป็นวิธีที่ธรรมดาที่สุด โดยทำการตรวจสอบทั้งหมด n(n-1)/2 คู่ และใช้เวลาการทำงานเป็น Θ(n²)

• วิธีการแบบแบ่งแยกและเอาชนะ

มีการมองปัญหาใหญ่เป็นปัญหาย่อยๆ ทำให้เป็นวิธีที่ใช้เวลาน้อยที่สุด นั่นคือใช้เวลาการทำงานเป็น Θ(nlogn) มาจาก t(n) = 2t(n/2) + Θ(n) = Θ(nlogn) โดย 2t(n/2) มาจากการเรียกซ้ำใน 2 รอบ ในพื้นสี่ฝั่งซ้ายและฝั่งขวา และ Θ(n) มาจากการเอาสี่เหลี่ยมเทียบกับจุดจำนวน n คู่

การนำไปใช้งาน

ปัญหาการหาระยะทางระหว่างคู่จุดที่ใกล้กันที่สุด ถูกนำไปประยุกต์ใช้ในงานหลากหลายด้าน หลากหลายแอพพลิเคชัน (Application) เช่น นำไปใช้ในระบบควบคุมการจราจรทางอากาศหรือทางทะเลซึ่งในการควบคุมนั้นจำเป็นต้องรู้ว่ามียานพาหนะ 2 ลำไหนที่อยู่ใกล้กันที่สุดเพื่อที่จะป้องกันการชนกันได้ เป็นต้น

อ้างอิง

• Jeremy Buhler (2011), Fast Closest-Pair Algorithm, Faculty of Engineering of Washington University in St.Louis, classes.cec.wustl.edu/~cse241/handouts/closestpair.pdf
• Robert Sedgewick, Kevin Wayne (2007), Geometric Algorithms, Department of Computer Science,Princeton University, [[1]]