ทฤษฎีบทของวิลสัน

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ทฤษฎีบทของวิลสัน (อังกฤษ: Wilson's Theorem) ในคณิตศาสตร์กล่าวว่า สำหรับจำนวนเฉพาะ p > 1,

(p-1) !\ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ p)

(ดูเพิ่มเติมใน แฟกทอเรียล และ เลขคณิตมอดุลาร์ สำหรับความหมายของสัญกรณ์)

ประวัติ[แก้]

การพิสูจน์[แก้]

ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะคี่ แล้วเซต G = (Z/pZ) × = {1, 2, ... p − 1} จะอยู่ในรูปกรุปภายใต้การคูณมอดุโล pได้ นั่นหมายความว่า สำหรับแต่ละสมาชิก i ใน G จะมีสมาชิกผกผัน j ใน G ที่ทำให้ ij ≡ 1 (mod p) ได้อย่างเดียว. ถ้า ij (mod p) แล้วจะทำให้ i2 − 1 = (i + 1) (i − 1) ≡ 0 (mod p) จาก p เป็นจำนวนเฉพาะ ทำให้ i ≡ 1 หรือ −1 (mod p) , นั่นคือ i = 1 หรือ i = p − 1.

หรือกล่าวได้ว่า 1 และ p − 1 เท่านั้น ที่เป็นตัวผกผันกับตัวเอง แต่สมาชิกตัวอื่นๆใน G จะมีตัวผกผันที่แตกต่างกัน ดังนั้น ถ้าจับคู่สมาชิกตัวที่ผกผันกันใน G และคูณทั้งหมดเข้าด้วยกัน จะได้ผลคูณเท่ากับ -1 ตัวอย่างเช่น ถ้า p = 11 จะได้

10! = 1(10) (2 \cdot 6) (3 \cdot 4) (5 \cdot 9) (7 \cdot 8) \ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ 11)

สำหรับบทกลับ ให้ n เป็นจำนวนประกอบ ที่ทำให้ (n − 1) ! ≡ −1 (mod p) , ดังนั้น n จะมีตัวหารแท้ d ซึ่ง 1 < d < n ดังนั้น d หาร (n − 1) ! ลงตัว แต่ d หาร (n − 1) ! + 1 ลงตัวด้วย ดังนั้น d หาร 1 ลงตัว เกิดข้อขัดแย้ง

การประยุกต์[แก้]

บทกลับ[แก้]

บทกลับของทฤษฎีบทของวิลสันกล่าวไว้ว่า สำหรับจำนวนประกอบ n > 5

(n − 1) ! หารด้วย n ลงตัว

เหลือกรณีที่ n = 4 ซึ่ง 3! สมภาคกับ 2 โมดุโล 4