ซิงเกิลตัน

ซิงเกิลตัน (อังกฤษ: singleton) ในทางคณิตศาสตร์หมายถึง เซตที่มีสมาชิกตัวเดียวและเพียงหนึ่งเดียว ตัวอย่าง เซต { 0 } เป็นซิงเกิลตัน มีสมาชิกตัวเดียวคือ 0

คุณสมบัติ

เซตเซตหนึ่งจะเป็นซิงเกิลตันก็ต่อเมื่อมีคาร์ดินัลลิตีเท่ากับ 1 ในโครงสร้างทฤษฎีเซตของจำนวนธรรมชาติ จำนวน 1 ถูกนิยามให้เป็นซิงเกิลตัน { 0 }

เซตของเซตซึ่งมีเซตตัวเดียวเป็นสมาชิกก็ถือว่าเป็นซิงเกิลตัน เช่น { {1,2,3} } มีสมาชิกเพียงตัวเดียวคือ {1,2,3} ถึงแม้สมาชิกนี้จะไม่ใช่ซิงเกิลตันก็ตาม

ในทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ การมีขึ้นของซิงเกิลตันนั้นเป็นผลมาจากสัจพจน์ของเซตว่าง (axiom of empty set) และสัจพจน์ของการจับคู่ (axiom of pairing) กล่าวคือเมื่อเซตว่าง { } จับคู่กับเซตว่าง { } จะให้ผลเป็น { { } } ซึ่งเป็นซิงเกิลตัน แต่ตัวเซตว่างเองนั้นไม่ใช่

ถ้าให้ A เป็นเซตใดๆ และ S เป็นซิงเกิลตันใดๆ ดังนั้นจะมีฟังก์ชันเพียงหนึ่งเดียวจาก A ไปยัง S เนื่องจากฟังก์ชันดังกล่าวจะให้ผลเป็นสมาชิกตัวเดียวใน S ไม่ว่าจะส่งค่าสมาชิกใดมาจาก A