ช่องว่างจำนวนเฉพาะ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ช่องว่างจำนวนเฉพาะ (อังกฤษ: prime gap) หมายถึงผลต่างระหว่างจำนวนเฉพาะสองจำนวนที่อยู่ติดกัน ช่องว่างจำนวนเฉพาะในตำแหน่งที่ n เขียนแทนด้วย gn คือผลต่างระหว่างจำนวนเฉพาะตัวที่ n+1 กับ n ดังนี้

g_n = p_{n + 1} - p_n.\

ดังนั้นเราจะได้ g1 = 1, g2 = g3 = 2, และ g4 = 4 เป็นต้น

ลำดับของช่องว่างจำนวนเฉพาะ 30 ตัวแรกมีดังนี้

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, ... (ลำดับ OEISA001223)

ข้อสังเกตเบื้องต้น[แก้]

สำหรับจำนวนเฉพาะ P ใดๆ เราสามารถเขียน P# แทนความหมายของไพรมอเรียลของ P ซึ่งเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่ไม่มากกว่า P และกำหนดให้ Q เป็นจำนวนเฉพาะที่อยู่ถัดจาก P ดังนั้น ลำดับนี้

P\# + 2, P\# + 3, ..., P\# + (Q - 1)

คือลำดับของจำนวนประกอบที่อยู่ติดกัน Q−2 จำนวน ซึ่งหมายความว่ามีช่องว่างจำนวนเฉพาะอย่างน้อยที่เท่ากับ Q−1 ดังนั้น เราสามารถสร้างช่องว่างจำนวนเฉพาะให้มีขนาดใหญ่เท่าใดก็ได้ นั่นคือ สำหรับจำนวนเฉพาะ P ใดๆ จะมีจำนวนเต็ม n ซึ่ง gn > P (เลือก n ที่ทำให้ pn มีค่ามากที่สุด และน้อยกว่า P# + 2)

ในความเป็นจริง ช่องว่างจำนวนเฉพาะที่เท่ากับ n อาจปรากฏเป็นค่าที่น้อยกว่า n# อย่างมาก ตัวอย่างเช่น ลำดับจำนวนประกอบที่เล็กที่สุด มี 71 จำนวนที่อยู่ระหว่าง 31398 และ 31468 ในขณะที่ 71# มีค่ามากถึง 27 หลัก นั่นคือ 557940830126698960967415390

ถึงแม้ว่าช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะจะเฉลี่ยเพิ่มขึ้นแบบลอการิทึมธรรมชาติบนจำนวนเต็ม อัตราของ ช่องว่างจำนวนเฉพาะมากสุด ก็จะแปรผันเพิ่มขึ้นไปตามความมหาศาลของจำนวนด้วย

ในทางตรงข้าม ข้อความคาดการณ์จำนวนเฉพาะคู่แฝดกล่าวว่า มี n ที่ทำให้ gn = 2 อยู่ไม่จำกัด

ผลลัพธ์เชิงตัวเลข[แก้]

กระทั่งถึง พ.ศ. 2550 ช่องว่างจำนวนเฉพาะที่มากที่สุดที่มีการค้นพบ มีขนาด 2,254,930 หลัก ระบุจากจำนวนเฉพาะน่าจะเป็น (probable prime) ขนาด 86,853 หลักสองจำนวน ค้นพบโดย H. Rosenthal และ J. K. Andersen [1] ส่วนช่องว่างจำนวนเฉพาะที่มากที่สุดที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว มีขนาด 337,446 หลัก จากจำนวนเฉพาะขนาด 7,996 หลักที่ค้นพบโดย T. Alm, J. K. Andersen และ François Morain [2]

เราจะกล่าวว่า gn เป็น ช่องว่างจำนวนเฉพาะมากสุด (maximal prime gap) ถ้าหาก gm < gn สำหรับทุกค่าของ m < n เมื่อเดือนเมษายน พ.ศ. 2550 ช่องว่างจำนวนเฉพาะมากสุด ที่มากที่สุดค้นพบโดย Siegfried Herzog และ Tomás Oliveira e Silva มีขนาด 1,442 หลัก ซึ่งเป็นช่องว่างมากสุดลำดับที่ 74 ที่เกิดขึ้นหลังจากจำนวนเฉพาะ 804212830686677669 [3]

อัตราส่วน (จำนวนหลักของ gn) / ln(pn) เรียกว่าเป็นอัตรา merit ของ gn ซึ่งมีค่าขึ้นลงไม่เท่ากัน มีค่ามากที่สุดเท่ากับ 1442 / log(804212830686677669) = 34.98 [4]

ช่องว่างจำนวนเฉพาะมากสุด 74 ตัวแรก (ไม่แสดงค่า n)
ลำดับที่ 1 ถึง 25
# gn pn
1 1 2
2 2 3
3 4 7
4 6 23
5 8 89
6 14 113
7 18 523
8 20 887
9 22 1129
10 34 1327
11 36 9551
12 44 15683
13 52 19609
14 72 31397
15 86 155921
16 96 360653
17 112 370261
18 114 492113
19 118 1349533
20 132 1357201
21 148 2010733
22 154 4652353
23 180 17051707
24 210 20831323
25 220 47326693
ลำดับที่ 26 ถึง 50
# gn pn
26 222 122164747
27 234 189695659
28 248 191912783
29 250 387096133
30 282 436273009
31 288 1294268491
32 292 1453168141
33 320 2300942549
34 336 3842610773
35 354 4302407359
36 382 10726904659
37 384 20678048297
38 394 22367084959
39 456 25056082087
40 464 42652618343
41 468 127976334671
42 474 182226896239
43 486 241160624143
44 490 297501075799
45 500 303371455241
46 514 304599508537
47 516 416608695821
48 532 461690510011
49 534 614487453523
50 540 738832927927
ลำดับที่ 51 ถึง 74
# gn pn
51 582 1346294310749
52 588 1408695493609
53 602 1968188556461
54 652 2614941710599
55 674 7177162611713
56 716 13829048559701
57 766 19581334192423
58 778 42842283925351
59 804 90874329411493
60 806 171231342420521
61 906 218209405436543
62 916 1189459969825483
63 924 1686994940955803
64 1132 1693182318746371
65 1184 43841547845541059
66 1198 55350776431903243
67 1220 80873624627234849
68 1224 203986478517455989
69 1248 218034721194214273
70 1272 305405826521087869
71 1328 352521223451364323
72 1356 401429925999153707
73 1370 418032645936712127
74 1442 804212830686677669
     

ผลลัพธ์ต่อๆ ไป[แก้]

ผลลัพธ์ของช่องว่างจำนวนเฉพาะต่อๆ ไป เป็นไปตามสัจพจน์ของเบอร์แทรนด์ ซึ่ง gn < pn

ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะกล่าวว่า "ความยาวเฉลี่ย" ของช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะ p กับจำนวนเฉพาะถัดไป มีค่าเท่ากับ ln p ซึ่งความยาวจริงของช่องว่างอาจมากกว่าหรือน้อยกว่านี้ก็ได้ อย่างไรก็ตาม จากทฤษฎีบทดังกล่าวเราสามารถคาดคะเนขอบเขตบนสำหรับความยาวของช่องว่างนั้น นั่นคือ ทุกค่าของ ε > 0 จะมีจำนวน N ที่ทำให้ gn < εpn สำหรับทุกค่าของ n > N

Guido Hoheisel ได้แสดงเป็นครั้งแรก [5] ว่ามีค่าคงตัว θ < 1 ที่ทำให้

\pi(x + x^\theta) - \pi(x) \sim x^\theta / \log(x)\,\!

เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้อนันต์ ซึ่งแสดงให้เห็นว่า

g_n < p_n^\theta

สำหรับจำนวน n ที่มีขนาดมากเพียงพอ เราสามารถคาดคะเนว่าช่วงว่างจะดูเล็กลงเมื่อเทียบกับขนาดของจำนวนเฉพาะ นั่นคือ gn / pn จะมีค่าเข้าใกล้ศูนย์ เมื่อ n มีค่าเข้าใกล้อนันต์

Hoheisel เลือกค่าที่เป็นไปได้คือ 32999/33000 สำหรับแทนค่าของ θ ต่อมาก็ได้พัฒนาเป็น 249/250 โดย Hans Heilbronn [6] และเปลี่ยนเป็น 3/4 + ε สำหรับค่าใดๆ ของ ε > 0 โดย Čudakov [7]

การพัฒนาครั้งหนึ่งที่สำคัญโดย Albert Ingham [8] ผู้ซึ่งกล่าวว่า ถ้าหาก

\zeta(1/2 + \bold{i} t) = O(t^c)

จะมีค่าคงตัว c ที่เป็นจำนวนบวก ที่ทำให้

\pi(x + x^\theta) - \pi(x) \sim x^\theta / \log(x)\,\!

สำหรับค่าใดๆ ของ θ > (1 + 4c)/(2 + 4c) เมื่อ ζ คือฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ และ π คือฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ ในเมื่อเราทราบว่าค่าของ c > 1/6 เป็นค่าที่ยอมรับได้ ดังนั้น θ จึงสามารถเป็นจำนวนใดๆ ก็ได้ที่มากกว่า 5/8

จากความรู้ของ Ingham ส่งผลให้สามารถทราบได้ว่า จะมีจำนวนเฉพาะแทรกอยู่ระหว่าง n3 และ (n + 1)3 เสมอ ถ้า n มีขนาดใหญ่เพียงพอ ไม่เว้นแม้แต่สมมติฐานของ Lindelöf ซึ่งกล่าวว่าเราสามารถให้ค่า c เป็นจำนวนบวกใดๆ แล้วทำให้มีจำนวนเฉพาะแทรกอยู่ระหว่าง n2 กับ (n + 1)2 ด้วยเงื่อนไขเดียวกัน (ดูเพิ่มที่ ข้อความคาดการณ์ของเลอช็องดร์) และเพื่อที่จะยืนยันคำกล่าวนี้ ผลลัพธ์ที่มีน้ำหนักอย่างเช่นข้อความคาดการณ์ของเครเมอร์อาจเป็นที่ต้องการ

Martin Huxley กล่าวว่าเราอาจสามารถใช้ค่า θ = 7/12 ก็ได้ [9] และจากผลลัพธ์เมื่อเร็วๆ นี้ Baker, Harman และ Pintz ได้แสดงให้เห็นว่า θ สามารถเท่ากับ 0.525 ก็ได้ [10]

ข้อความคาดการณ์เกี่ยวกับช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะ[แก้]

ถึงแม้ว่าผลลัพธ์ที่ดีกว่าจะสามารถเป็นไปได้ ถ้าหากให้สมมติฐานของรีมันน์เป็นจริง Harald Cramér ได้พิสูจน์แล้วว่า ช่องว่างจำนวนเฉพาะ g(p)

g(p) = O(\sqrt{p} \ln p)

ตรงตามเงื่อนไขภายใต้สมมติฐานนี้ อย่างไรก็ตาม เขาได้คาดการณ์ว่าอาจจะมีช่องว่างที่มีขนาดเล็กกว่านี้อีก โดยคาดการณ์อย่างหยาบๆ ว่า

g(p) = O\left((\ln p)^2\right)

และปัจจุบันดูเหมือนว่าแนวโน้มของตัวเลขจะเข้าสู่แนวทางนี้ ดูเพิ่มที่ ข้อความคาดการณ์ของเครเมอร์

ข้อความคาดการณ์ของแอนดริกาได้ระบุว่า

g(p) < 2\sqrt{p} + 1

อ้างอิง[แก้]

  1. Largest known prime gap
  2. A proven prime gap of 337446
  3. Maximal Prime Gaps
  4. The Top-20 Prime Gaps
  5. G. Hoheisel, Primzahlprobleme in der Analysis, Sitzunsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 33, pages 3-11, (1930)
  6. H. A. Heilbronn, Über den Primzahlsatz von Herrn Hoheisel, Mathematische Zeitschrift, 36, pages 394-423, (1933)
  7. N. G. Tchudakoff, On the difference between two neighboring prime numbers, Math. Sb., 1, pages 799-814, (1936)
  8. Ingham, A. E. On the difference between consecutive primes, Quarterly Journal of Mathematics (Oxford Series), 8, pages 255-266, (1937)
  9. Huxley, M. N. (1972). "On the Difference between Consecutive Primes". Inventiones mathematicae 15: 164–170. doi:10.1007/BF01418933. 
  10. Baker, R. C.; G. Harman, G. and J. Pintz (2001). "The difference between consecutive primes, II". Proceedings of the London Mathematical Society 83: 532–562. doi:10.1112/plms/83.3.532. 

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]