ความหนาแน่นกระแสสี่มิติ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

เวกเตอร์ความหนาแน่นกระแสสี่มิติ \mathsf{J} (อังกฤษ: four-current) ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษและทั่วไป คือเวอร์ชันซึ่งเป็นลอเรนซ์โคแวเรียนต์ (Lorentz covariant) ของเวกเตอร์ความหนาแน่นกระแสแม่เหล็กไฟฟ้า (electromagnetic current density) \mathbf{j}

เวกเตอร์ความหนาแน่นกระแสสี่มิตินิยามเหมือนกันในทุกระบบ โดย

 \mathsf{J} := \left(J^\mu\right) = \left( \rho c, \mathbf{j} \right)

โดยที่

\left.c\right. คืออัตราเร็วแสงในสุญญากาศ (speed of light in vacuum)
\left.\rho\right. คือความหนาแน่นประจุ (charge density)
\mathbf{j} คือความหนาแน่นกระแสแม่เหล็กไฟฟ้า (electromagnetic current density)

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ คำกล่าวของกฎอนุรักษ์ประจุไฟฟ้า (electric charge conservation law) (เมื่อเขียนในรูปสมการจะเรียกว่าสมการความต่อเนื่อง (continuity equation)) คือว่า

"ไดเวอร์เจนซ์แบบโลเร็นตซ์อินวาเรียนท์ (Lorentz invariant divergence) ของ เวกเตอร์ความหนาแน่นกระแสสี่มิติ \mathsf{J} เป็นศูนย์"

\boldsymbol{\partial}\cdot\mathsf{J} = \partial_\mu J^\mu = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{j} = 0

เมื่อ \boldsymbol{\partial} เป็นตัวดำเนินการ (operator) ถูกเรียกว่าเกรเดียนท์สี่มิติ (four-gradient) และกำหนดโดย \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \boldsymbol{\nabla}\right) บางครั้งสมการความต่อเนื่องข้างบนถูกเขียนในรูป

\left.J^\mu{}_{,\mu}=0\right.

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป สมการความต่อเนื่องดังกล่าวจะถูกเขียนในรูป

\left.J^\mu{}_{;\mu}=0\right.

โดย semi-colon \left.;\right. แทนอนุพันธ์โควาเรียนท์ (covariant derivative)

ดูเพิ่ม[แก้]