ขั้นตอนวิธีของฟลอยด์-วอร์แชล

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ขั้นตอนวิธีของฟลอยด์-วอร์แชล (อังกฤษ: Floyd–Warshall algorithm) หรือที่รู้จักในนามว่า ขั้นตอนวิธีของฟลอยด์, ขั้นตอนของรอย-วอร์แชล หรือ ขั้นตอนวิธีของรอย-ฟลอยด์ เป็นขั้นตอนวิธีการวิเคราะห์กราฟเพื่อที่จะหาระยะทางของเส่นทางสั้นสุดในกราฟที่มีน้ำหนักของเส้นเชื่อมเป็นบวก หรือ น้ำหนักของเส้นเชื่อมเป็นลบ ก็ได้แต่ไม่สามารถหาได้ถ้ามีวงจรลบ โดยการทำงานหนึ่งครั้งของขั้นตอนวิธีนี้จะได้คำตอบของระยะทางของเส้นทางสั้นสุดของทุกๆคู่ปมบนกราฟ อย่างไรก็ตามจะไม่สามารถคืนค่ารายละเอียดของเส้นทางสั้นสุดในแต่ละคู่ปมได้ ยกเว้นมีการเพิ่มเติมเข้าไป ขั้นตอนวิธีนี้เป็นตัวอย่างของกำหนดการพลวัตแบบด้านล่างขึ้นด้านบน โดยขั้นตอนวิธีนี้ถูกคิดขึ้นโดย โรเบิร์ต ฟลอยด์ ในปี 1962 อย่างไรก็ตามขั้นตอนวิธีนี้มีส่วนสำคัญเหมือนกับอัลกอริทึมของเบอร์นาร์ด รอยด์ ในปี 1959 และของสตีเฟน วอร์แชล ในปี 1962 ในการค้นหา ความสัมพันธ์แบบถ่ายทอดของกราฟ (อังกฤษ: Transitive closure)

แนวคิด[แก้]

  • ใช้ได้กับ กราฟที่มีน้าหนักของเส้นเชื่อมทั้งบวกและลบ แต่ไม่สามารถใช้ได้กับ กราฟที่มีวงจรลบ
  • คืนค่า ระยะทางของเส้นทางที่สั้นสุดของทุกๆคู่ปม
  • ใช้กำหนดการพลวัต กำหนดการพลวัต แบบล่างขึ้นบน (อังกฤษ: Bottom-up)
  • path (i,j,0) คือ ไม่มีปมระหว่างทาง จึงมีค่าเท่ากับระยะทางจาก i ไป j


ขั้นตอนวิธี[แก้]

ขั้นตอนวิธีของฟลอยด์-วอร์แชล ใช้ในการเปรียบเทียบระยะทางเส้นทางทั้งหมดที่เป็นไปได้ของกราฟระหว่างแต่ละคู่ของปม โดยมีอัตราการเติบโตของการทำงานเป็น "Θ (|V|^3)"

พิจารณากราฟ G กับปม V ตั้งแต่ปม 1 ถึง ปม N พิจารณาฟังก์ชัน shortestPath (i,j,k) ที่จะคืนค่าระยะทางของเส้นทางสั้นสุดที่เป็นไปได้จาก i ไป j โดยมีปม 1,2,3,...,k เท่านั้นที่เป็นปมระหว่างทางได้ และ path (i,j,k) สามารถหาได้มาจาก path (i,j,k-1) หรือ path (i,k,k-1) +path (k,j,k-1) โดยดูว่าค่าไหนน้อยกว่ากัน และมีกรณีพื้นฐานคือ path (i,j,0) คือ ระยะทางโดยตรงจาก i ไป j ที่ไม่มีปมระหว่างทางนั่นเอง จึงสามารถเขียนได้เป็น การเวียนเกิด ได้ดังนี้

path (i,j,0) = ระยะทางจาก i ไป j path (i,j,k) = ค่าน้อยสุด (path (i,j,k-1),path (i,k,k-1) +path (k,j,k-1) )


Fig652 01 0.jpg

คำอธิบาย[แก้]

  • path (i,j,k) คือ ระยะทางของเส้นทางสั้นสุดจากปม i ไป j โดยมีปมที่อยู่ระหว่างทางได้คือ {1,2,3,...,k}
  • path (i,j,k-1) คือ ระยะทางของเส้นทางสั้นสุดจากปม i ไป j โดยมีปมที่อยู่ระหว่างทางได้คือ {1,2,3,...,k-1}
  • path (i,k,k-1) คือ ระยะทางของเส้นทางสั้นสุดจากปม i ไป kโดยมีปมที่อยู่ระหว่างทางได้คือ {1,2,3,...,k-1}
  • path (k,j,k-1) คือ ระยะทางของเส้นทางสั้นสุดจากปม k ไป j โดยมีปมที่อยู่ระหว่างทางได้คือ {1,2,3,...,k-1}


รหัสเทียม[แก้]

สะดวกเมื่อคำนวณ กรณีที่ k โดยสามารถเขียนทับข้อมูลที่เคยบันทึกไว้จากการคำนวณของกรณีที่ผ่านมา k-1 หมายความว่าใช้พื้นที่ในการเก็บข้อมูลในหน่วยความจำเพียงแค่สมการกำลังสอง หรือเพียง อาเรย์สองมิติ นั่นเอง

 1  /* สมมุติให้ฟังก์ชัน edgeCost (i,j) คืนค่า น้ำหนักของเส้นเชื่อมจาก i ไป j
 2  */
 3
 4  จำนวนเต็ม path[][];
 5  /* อาเรย์ 2 มิติ path[i][j] เป็นเส้นทางสั้นที่สุดจากปม i ไป j โดยใช้ ปมเริ่มต้น (1..k−1).
 6  ในแต่ละขั้นตอนของ ขั้นตอนวิธี  โดยแต่ละ path[i][j] มีค่าเริ่มต้นคือ  edgeCost (i,j).
 7  */
 8
 9  /* ขั้นตอนวิธีของฟลอยด์-วอร์แชล */
10   ขั้นตอน  ฟลอยด์-วอร์แชล ()
11      ตั้งแต่ k := 1 ถึง n
12        ตั้งแต่ i := 1 ถึง n
13           ตั้งแต่ j := 1 ถึง n
14              path[i][j] = ค่าน้อยที่สุด ( path[i][j], path[i][k]+path[k][j] ) ;


พฤติกรรมเมื่อเจอวงจรติดลบ[แก้]

วงจรติดลบ คือ วงจรที่มีผลรวมของระยะทางของเส้นเชื่อมเป็นค่าลบ ระยะทางสั้นสุดไม่สามารถกำหนดได้เนื่องจาก เส้นทางสามารถติดลบไปเรื่อยๆ ก็จะน้อยลงเรื่อยไม่มีที่สิ้นสุด สำหรับ ขั้นตอนวิธีของฟลอยด์-วอร์แชล นั้นจะสังเกตวงจรลบได้จาก path[i][j] เมื่อ i มีค่าเท่ากับ j โดยถ้า path[i][j]<0 เมื่อ i มีค่าเท่ากับ j แสดงว่ามีวงจรลบ จะไม่สามารถหาคำตอบได้

  • เริ่มต้น ความยาวของเส้นทาง (i,i) เป็น 0
  • เส้นทาง {(i,k), (k,i)} สามารถเปลี่ยนไปเรื่อยๆ
  • หลังจากทำขั้นตอนวิธีนี้แล้ว (i,i) จะเป็นลบ ถ้ามี เส้นทางความยาวติดลบมาจาก i
  • ถ้ามีความยาวจาก i กลับมา i เป็นลบ จะได้ว่า ระยะทางสั้นสุดที่ได้ผ่านปมระหว่างทางมามีค่าน้อยกว่า 0 จะเรียกว่าวงจรลบ
 1  /* สมมุติให้ฟังก์ชัน edgeCost (i,j) คืนค่า น้ำหนักของเส้นเชื่อมจาก i ไป j
 2  */
 3
 4  จำนวนเต็ม path[][];
 5  /* อาเรย์ 2 มิติ path[i][j] เป็นเส้นทางสั้นที่สุดจากปม i ไป j โดยใช้ ปมเริ่มต้น (1..k−1).
 6  ในแต่ละขั้นตอนของ ขั้นตอนวิธี  โดยแต่ละ path[i][j] มีค่าเริ่มต้นคือ  edgeCost (i,j).
 7  */
 8
 9  /* ขั้นตอนวิธีของฟลอยด์-วอร์แชล */
10   ขั้นตอน  ฟลอยด์-วอร์แชล ()
11      ตั้งแต่ k := 1 ถึง n
12        ตั้งแต่ i := 1 ถึง n
13           ตั้งแต่ j := 1 ถึง n
14              path[i][j] = ค่าน้อยที่สุด ( path[i][j], path[i][k]+path[k][j] ) ;
15   ตั้งแต่ i := 1 ถึง
16      ถ้า path[i][i] < 0 เมื่อนั้น
17         มีวงจรติดลบอยู่


การสร้างเส้นทาง[แก้]

ขั้นตอนวิธีของฟลอยด์-วอร์แชลนั้นโดยปกติแล้วจะหาแค่ระยะทางของเส้นทางที่สั้นที่สุดของแต่ละคู่ปม แต่สามารถปรับเปลี่ยนเพิ่มเติมส่วนของการจำเส้นทางที่ผ่านระหว่างทางได้ด้วยโดยการ เพิ่ม next[i][j] ที่เอาไว้จำค่า ปมที่ผ่านระหว่างทางที่ทำให้มีค่าระยะทางเส้นทางสั้นสุดของคู่ปมมากที่สุด โดย next[i][j] จะได้รับการเปลี่ยนค่าไปเรื่อยๆ ถ้าเกิด ปมที่ผ่านระหว่างทางของแต่ละคู่ปมต้นทางปลายทางที่สนใจอยู่ ทำให้เกิดระยะทางสั้นสุดระหว่างคู่ปมนั้น

 1 ขั้นตอน ฟลอยด์-วอร์แชลกับการสร้างเส้นทาง ()
 2    ตั้งแต่ k := 1 ถึง n
 3       ตั้งแต่ i := 1 ถึง n
 4          ตั้งแต่ j := 1 ถึง n
 5             ถ้า path[i][k] + path[k][j] < path[i][j] เมื่อนั้น
 6                path[i][j] := path[i][k]+path[k][j];
 7                next[i][j] := k;
 8
 9  ขั้นตอน GetPath (i,j)
10    ถ้า path[i][j] เท่ากับอนันต์  เมื่อนั้น
11       คืนค่า "ไม่มีเส้นทาง";
12    จำนวนเต็ม ค่ากลาง := next[i][j];
13    ถ้า ค่ากลางเท่ากับ  null เมื่อนั้น
14       คืนค่า ""  /* มีเส้นเชื่อมจาก i ไป j ที่ไม่มีปมอยู่ระหว่างเส้นเชื่อมนั้น */
15    มิฉะนั้น
16       คืนค่า GetPath (i,ค่าเริ่มต้น) + ค่ากลาง + GetPath (ค่าเริ่มต้น,j) ;


การวิเคราะห์อัตราการเติบโต[แก้]

เพื่อที่จะหา shortest path ของคู่ปมจำนวน n^2 คู่ปม จาก path (i,j,k-1) ต้องการ 2n^2 คำสั่ง เนื่องจากเราเริ่มจาก path (i,j,0) = edgeCost (i,j) และคำนวณ path (i,j,1) , path (i,j,2), ..., path (i,j,n) ดังนั้นเราจึงได้คำสั่งรวมเท่ากับ n · 2n^2 = 2n^3 จึงสรุปได้ว่ามีอัตราการเติบโตเป็น Θ (n^3).


การนำไปใช้งาน[แก้]

ขั้นตอนวิธีของฟลอยด์-วอร์แชลนั้นสามารถนำไปแก้ปัญหาปัญหาต่างๆได้ดังนี้

  • วิถีสั้นสุดในกราฟมีทิศทาง
  • ความสัมพันธ์แบบถ่ายทอด (Transitive closure) ของ กราฟมีทิศทาง
  • การกำหนดเส้นทางที่เหมาะสมที่สุด
  • การผกผันของเมทริกซ์จริง
  • ตรวจสอบว่า กราฟไม่มีทิศทาง เป็นกราฟสองส่วนหรือไม่
  • การคำนวณหาเส้นทางของเครือข่าย
  • คำนวณหาเส้นทางที่มีปริมาณข้อมูลใดๆ ที่จะผ่านเข้า/ออกช่องทางสัญญาณหนึ่งๆได้ในระยะเวลาที่กำหนดมากที่สุด ในเครือข่าย

บันทึก[แก้]

จากขั้นตอนวิธีของฟลอยด์-วอร์แชล จะเห็นได้ว่ามีประโยชน์มากในการนำมาหาเส้นทางสั้นสุดของทุกคู่ปม เนื่องจากประสิทธิภาพโดยรวมนั้น เป็น Θ (|V|^3) ซึ่งถ้าเทียบกับ ขั้นตอนวิธีของไดค์สตรา O (V* (|E|+|V|log|V|) ) และของ ขั้นตอนวิธีของเบลแมน-ฟอร์ด O (V* (|V||E|)) ในกรณีแย่สุด E ประมาณได้ V^2 นั้น จะเห็นได้ว่ามีประสิทธิภาพที่ดีกว่า


ตัวอย่างรหัสในภาษาต่างๆ[แก้]

การเขียนโปรแกรม[แก้]

การเขียนโปรแกรม สามารถทำได้หลายภาษามากมาย en:programming language.


\begin{align}&D^{(0)}=\begin{pmatrix}0&3&8&\infty&-4\\\infty&0&\infty&1&7\\\infty&4&0&\infty&\infty\\2&\infty&-5&0&\infty\\\infty&\infty&\infty&6&0\end{pmatrix}\quad&\Pi^{(0)}=\begin{pmatrix}\text{NIL}&1&1&\text{NIL}&1\\\text{NIL}&\text{NIL}&\text{NIL}&2&2\\\text{NIL}&3&\text{NIL}&\text{NIL}&\text{NIL}\\4&\text{NIL}&4&\text{NIL}&\text{NIL}\\\text{NIL}&\text{NIL}&\text{NIL}&5&\text{NIL}\end{pmatrix}\\ \\&D^{(1)}=\begin{pmatrix}0&3&8&\infty&-4\\\infty&0&\infty&1&7\\\infty&4&0&\infty&\infty\\2&5&-5&0&-2\\\infty&\infty&\infty&6&0\end{pmatrix}&\Pi^{(1)}=\begin{pmatrix}\text{NIL}&1&1&\text{NIL}&1\\\text{NIL}&\text{NIL}&\text{NIL}&2&2\\\text{NIL}&3&\text{NIL}&\text{NIL}&\text{NIL}\\4&1&4&\text{NIL}&1\\\text{NIL}&\text{NIL}&\text{NIL}&5&\text{NIL}\end{pmatrix}\\ \\&D^{(2)}=\begin{pmatrix}0&3&8&4&-4\\\infty&0&\infty&1&7\\\infty&4&0&5&11\\2&5&-5&0&-2\\\infty&\infty&\infty&6&0\end{pmatrix}&\Pi^{(2)}=\begin{pmatrix}\text{NIL}&1&1&2&1\\\text{NIL}&\text{NIL}&\text{NIL}&2&2\\\text{NIL}&3&\text{NIL}&2&2\\4&1&4&\text{NIL}&1\\\text{NIL}&\text{NIL}&\text{NIL}&5&\text{NIL}\end{pmatrix}\\ \\&D^{(3)}=\begin{pmatrix}0&3&8&4&-4\\\infty&0&\infty&1&7\\\infty&4&0&5&11\\2&-1&-5&0&-2\\\infty&\infty&\infty&6&0\end{pmatrix}&\Pi^{(3)}=\begin{pmatrix}\text{NIL}&1&1&2&1\\\text{NIL}&\text{NIL}&\text{NIL}&2&2\\\text{NIL}&3&\text{NIL}&2&2\\4&3&4&\text{NIL}&1\\\text{NIL}&\text{NIL}&\text{NIL}&5&\text{NIL}\end{pmatrix}\\ \\&D^{(4)}=\begin{pmatrix}0&3&-1&4&-4\\3&0&-4&1&-1\\7&4&0&5&3\\2&-1&-5&0&-2\\8&5&1&6&0\end{pmatrix}&\Pi^{(4)}=\begin{pmatrix}\text{NIL}&1&4&2&1\\4&\text{NIL}&4&2&1\\4&3&\text{NIL}&2&1\\4&3&4&\text{NIL}&1\\4&3&4&5&\text{NIL}\end{pmatrix}\\ \\&D^{(5)}=\begin{pmatrix}0&1&-3&2&-4\\3&0&-4&1&-1\\7&4&0&5&3\\2&-1&-5&0&-2\\8&5&1&6&0\end{pmatrix}&\Pi^{(5)}=\begin{pmatrix}\text{NIL}&3&4&5&1\\4&\text{NIL}&4&2&1\\4&3&\text{NIL}&2&1\\4&3&4&\text{NIL}&1\\4&3&4&5&\text{NIL}\end{pmatrix}\end{align}
D[k] และ n[k] เมื่อ กราฟถูกคำนวณด้วยขั้นตอนวิธีนี้

ดูเพิ่ม[แก้]


อ้างอิง[แก้]


แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]