การแปลงเชิงปริพันธ์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

การแปลงเชิงปริพันธ์ (อังกฤษ: integral transform) ในทางคณิตศาสตร์ หมายถึง การแปลง T ใดๆ ที่อยู่ในรูป

 (Tf)(u) = \int_{t_1}^{t_2} f(t)\, K(t, u)\, dt.

โดยส่งผ่านฟังก์ชัน f เข้าสู่การแปลง และได้ผลลัพธ์ออกมาในรูป Tf การแปลงเชิงปริพันธ์นี้เป็นตัวดำเนินการทางคณิตศาสตร์ชนิดหนึ่ง

การแปลงเชิงปริพันธ์ที่มีประโยชน์นั้นมีอยู่หลายชนิด ขึ้นอยู่กับฟังก์ชันสองตัวแปร K ที่เลือกใช้ ฟังก์ชัน K นี้เรียกว่า เคอร์เนลของการแปลง (kernel of the transform) หรือ นิวเคลียส ของการแปลง

เคอร์เนลบางตัวนั้นมี เคอร์เนลอินเวอร์ส K^{-1}(u,t) ซึ่งให้การแปลงกลับ:

 f(t) = \int_{u_1}^{u_2} K^{-1}(u,t)\, (Tf)(u)\, du.

เคอร์เนลที่สมมาตร (symmetric kernel) คือ เคอร์เนลที่มีหน้าตาเหมือนกัน เมื่อสลับที่ตัวแปรทั้งสอง

สิ่งจูงใจ[แก้]

หากไม่กล่าวถึงเรื่องประโยชน์ที่ได้จากการใช้รูปแบบเครื่องหมาย สิ่งจูงใจของการใช้การแปลงเชิงปริพันธ์ที่เห็นได้ชัดเจนก็คือ ในบางปัญหาทางคณิตศาสตร์ซึ่งมีรูปแบบดั้งเดิมยากแก่การแก้ปัญหา การใช้การแปลงเชิงปริพันธ์เพื่อทำการแปลง รูปแบบของสมการจากในโดเมนดั้งเดิม ไปยังอีกโดเมนหนึ่งนั้น จะช่วยทำให้การจัดรูปและแก้ปัญหาสมการนั้นง่ายขึ้น หลังจากแก้ปัญหาสมการในโดเมนของการแปลงแล้ว ก็ทำการแปลงกลับให้มาอยู่ในโดเมนดั้งเดิมได้

การแปลงเชิงปริพันธ์ ใช้หลักการของการแยกองค์ประกอบสเปกตรัม (spectral factorization) ตาม ฐานเชิงตั้งฉากปรกติ (หรือ หมายความง่าย ๆ ว่า เราสามารถเขียนฟังก์ชันที่ซับซ้อน ให้อยู่ในรูปผลบวกของฟังก์ชันที่ซับซ้อนน้อยกว่านั่นเอง

ประวัติ[แก้]

การแปลงเชิงปริพันธ์ นั้นมีประวัติความเป็นมาเริ่มต้นจากการเขียนแทนฟังก์ชันในช่วงจำกัด ในรูปอนุกรมฟูรีเย และพัฒนาต่อมาเป็นการแปลงฟูรีเย เพื่อใช้สำหรับฟังก์ชันในช่วงไม่จำกัด

การเขียนฟังก์ชันในรูปอนุกรมฟูรีเย ฟังก์ชันจะถูกเขียนอยู่ในรูปผลบวกของฟังก์ชันไซน์ และ โคไซน์ ที่มีขนาด และ ตำแหน่ง ต่าง ๆ โดยฟังก์ชันไซน์ และ โคไซน์ นี้ก็เป็นตัวอย่างของฐานเชิงตั้งฉากปรกติ

ความสำคัญของฐานที่ตั้งฉาก[แก้]

ฟังก์ชันฐานที่ตั้งฉาก (orthogonal) นั้นหมายถึง ปริพันธ์ของผลคูณของสองฟังก์ชันฐานที่ต่างกัน ตลอดทั้งช่วงโดเมนของมันจะต้องมีค่าเป็นศูนย์ การแปลงเชิงปริพันธ์นั้นเพียงเป็นการเปลี่ยนรูปฟังก์ชันจากที่แสดงโดยฐานเชิงตั้งฉากปรกติหนึ่ง เป็นอีกฐานเชิงตั้งฉากปรกติหนึ่งเท่านั้น ค่าที่แต่ละจุดของฟังก์ชันในโดเมนของการแปลงคือ ค่าขนาดของฟังก์ชันฐานเชิงตั้งฉากปรกติหนึ่ง ๆ ที่เป็นองค์ประกอบของการกระจายฟังก์ชันจากการแปลง กระบวนการกระจายฟังก์ชันจากรูปแบบมาตรฐาน เป็นผลบวกของฟังก์ชันฐานเชิงตั้งฉากปรกติ ซึ่งอาจถูกปรับขนาด และ ตำแหน่ง เรียกว่า การแยกองค์ประกอบสเปกตรัม (spectral factorization) กระบวนการนี้คล้ายกับหลักการของการแทนจุดใด ๆ ในปริภูมิ 3 มิติ ด้วยค่าตามแกน x, y, z ซึ่งค่าแต่ละแกนจะตั้งฉากกัน และเป็นอิสระไม่ขึ้นแก่กัน ในการหาขนาดองค์ประกอบในการแยกองค์ประกอบสเปกตรัมของฟังก์ชัน F ตามฟังก์ชันฐานเชิงตั้งฉากปรกติหนึ่ง ๆ นั้นจะใช้คำว่า โพรเจกชัน (projection) ของ F ไปบนฟังก์ชันฐานนั้น เช่นเดียวกับในกรณีของเวกเตอร์

เราสามารถมองกราฟของฟังก์ชันบนพิกัดคาร์ทีเซียน เหมือนกับเป็นการกระจายบนฐานเชิงตั้งฉากปรกติเช่นกัน โดยแต่ละจุดบนกราฟจะเป็นองค์ประกอบของแต่ละฟังก์ชันฐานเชิงตั้งฉากปรกติ เช่นจุด (3,5) บนกราฟ หมายถึง องค์ประกอบ ของฟังก์ชันฐานเชิงตั้งฉากปรกติ δ(x-3) โดยที่ "δ" คือ ฟังก์ชันครอเนกเคอร์เดลต้า (Kronecker delta function) ที่มีขนาดเท่ากับ 5 หากมองเช่นนี้แล้ว กราฟต่อเนื่องของฟังก์ชันจำนวนจริงบนระนาบ ก็คือผลรวมของฟังก์ชันฐานจำนวนไม่จำกัด เพราะหากฟังก์ชันฐานมีจำนวนจำกัด เส้นกราฟก็ควรจะมีรูปร่างเป็นจุด ๆ แทนที่จะเป็นเส้นต่อเนื่อง

ตารางการแปลงเชิงปริพันธ์[แก้]

ตารางการแปลงเชิงปริพันธ์
การแปลง สัญลักษณ์ K t1 t2 K^{-1} u1 u2
การแปลงฟูรีเย (Fourier transform) \mathcal{F} \frac{e^{-iut}}{\sqrt{2 \pi}} -\infty\, \infty\, \frac{e^{+iut}}{\sqrt{2 \pi}} -\infty\, \infty\,
การแปลงฮาร์ทลีย์ (Hartley transform) \mathcal{H} \frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi}} -\infty\, \infty\, \frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi}} -\infty\, \infty\,
การแปลงเมลลิน (Mellin transform) \mathcal{M} t^{u-1}\, 0\, \infty\, \frac{t^{-u}}{2\pi i}\, c\!-\!i\infty c\!+\!i\infty
การแปลงลาปลาสสองด้าน (Two-sided Laplace
transform
)
\mathcal{B} e^{-ut}\, -\infty\, \infty\, \frac{e^{+ut}}{2\pi i} c\!-\!i\infty c\!+\!i\infty
การแปลงลาปลาส (Laplace transform) \mathcal{L} e^{-ut}\, 0\, \infty\, \frac{e^{+ut}}{2\pi i} c\!-\!i\infty c\!+\!i\infty
การแปลงแฮงเคิล (Hankel transform) t\,J_\nu(ut) 0\, \infty\, u\,J_\nu(ut) 0\, \infty\,
การแปลงอาเบล (Abel transform) \frac{2t}{\sqrt{t^2-u^2}} u\, \infty\, \frac{-1}{\pi\sqrt{u^2\!-\!t^2}}\frac{d}{du} t\, \infty\,
การแปลงฮิลเบิร์ต (Hilbert transform) \mathcal{H}il \frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t} -\infty\, \infty\, \frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t} -\infty\, \infty\,
การแปลงเอกลักษณ์ (Identity transform) \delta (u-t)\, t_1<u\, t_2>u\, \delta (t-u)\, u_1\!<\!t u_2\!>\!t

ในการแปลงกลับ ค่า c เป็นค่าคงที่ซึ่งขึ้นกับฟังก์ชันของการแปลง เช่น สำหรับการแปลงลาปลาสด้านเดียว และสองด้าน c จะต้องมีค่ามากกว่า ค่าส่วนจำนวนจริงที่มากที่สุดของค่าศูนย์(zero) ฟังก์ชันของการแปลง

ดูเพิ่ม[แก้]