การแจกแจงแบบปรกติหลายตัวแปร

การแจกแจงแบบปรกติหลายตัวแปร

Probability density function Bivariate normal distribution Bivariate normal distribution with μ = [5,2] and Σ1,1 = 2, Σ1,2 = Σ2,1 Σ2,2 = 0.8.
notation:	$\mathcal{N}(\mu,\,\Sigma)$
parameters:	μ ∈ Rk — location Σ ∈ Rk×k — covariance (nonnegative-definite matrix)
support:	x ∈ span(Σ) ⊆ Rk
pdf:	$((2\pi)^{\text{rank}(\Sigma)}\text{det}^*(\Sigma))^{-\frac{1}{2}}\, e^{ -\frac{1}{2}(x-\mu)'\Sigma^{-1}(x-\mu) }$
cdf:	(no analytic expression)
mean:	μ
mode:	μ
variance:	Σ
entropy:	$\ln\!\sqrt{(2\pi e)^k |\Sigma|}$
mgf:	$\exp\!\Big( \mu't + \tfrac{1}{2} t'\Sigma t\Big)$
cf:	$\exp\!\Big( i\mu't - \tfrac{1}{2} t'\Sigma t\Big)$

การแจกแจงแบบปรกติหลายตัวแปร (อังกฤษ: multivariate normal distribution) เป็นการขยายวางนัยทั่วไปจากการแจกแจงแบบปรกติ (ตัวแปรเดียว) ไปเป็นหลายมิติ(หลายตัวแปร) เวกเตอร์สุ่มที่มีการแจกแจงแบบปรกติหลายตัวแปร คือ ทุกๆผลรวมเชิงเส้น (linear combination) ของส่วนประกอบของเวกเตอร์มีการแจกแจงเป็นการแจกแจงแบบปรกติ

การแจกแจงแบบปรกติหลายตัวแปร มักใช้อธิบาย เซตของตัวแปรสุ่มหลายๆตัวที่มีความสัมพันธ์กัน โดยที่แต่ค่าของตัวแปรจะมีค่าเกาะกลุ่มอยู่ใกล้ๆกับค่ามัชฌิม

สัญลักษณ์เครื่องหมายและการใช้พารามิเตอร์

การแจกแจงแบบปรกติหลายตัวแปร ของเวกเตอร์สุ่ม k มิติ (k-dimensional random vector) X = [X₁, X₂, …, X_k] สามารถเขียนได้ดังนี้:

$X\ \sim\ \mathcal{N}(\mu,\, \Sigma),$

หรือสามารถระบุจำนวนมิติของตัวแปรได้ดังนี้

$X\ \sim\ \mathcal{N}_k(\mu,\, \Sigma).$

โดยเวกเตอร์ค่ามัชฌิมที่มี k มิติ คือ

$\mu = [ \operatorname{E}[X_1], \operatorname{E}[X_2], \ldots, \operatorname{E}[X_k]]$

และ เมตริกซ์ของความแปรปรวนร่วมเกี่ยว (covariance matrix) ขนาด k x k คือ

$\Sigma = [\operatorname{Cov}[X_i, X_j]]_{i=1,2,\ldots,k; j=1,2,\ldots,k}$

คำนิยาม

เวกเตอร์สุ่ม X = (X₁, …, X_k)′จะมีการแจกแจงแบบปรกติหลายตัวแปรได้ก็ต่อเมื่อเงื่อนไขดังนี้:

• ทุกๆผลรวมเชิงเส้น Y = a₁X₁ + … + a_kX_k มีการแจกแจงเป็นการแจกแจงแบบปรกติ นั่นคือ สำหรับเวกเตอร์ค่าคงที่ใดๆ a ∈ R^k, ตัวแปรสุ่ม Y = a′X จะมีการแจกแจงเป็นการแจกแจงแบบปรกติ
• เวกเตอร์สุ่ม Z (ขนาด ℓ มิติ) ที่สมาชิกของ Z เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปรกติ, เวกเตอร์ μ (ขนาด k มิติ), และ เมตริก A (ขนาด k×ℓ) มีอยู่จริง โดยที่ X = AZ + μ
• เวกเตอร์ μ (ขนาด k มิติ) และ เมตริก Σ (ขนาด k×k) ที่สมมาตรและเป็น nonnegative-definite มีอยู่จริง โดยที่ characteristic function ของ X คือ

  $\varphi_X(u) = \exp\Big( iu'\mu - \tfrac{1}{2} u'\Sigma u \Big).$

• ในกรณีที่ เมตริกซ์ของความแปรปรวนร่วมเกี่ยว Σ ไม่อยู่ในภาวะเอกฐาน(nonsigular) จะมีเวกเตอร์ μ (ขนาด k) และ เมตริกซ์ Σ (ขนาด k×k) ที่สมมาตรและเป็น positive-definite อยู่จริง โดยที่ ฟังชั่นหนาแน่นของความน่าจะเป็น (probability density function) ของ X จะเขียนได้ดังนี้: $f_X(x) = \frac{1}{ (2\pi)^{k/2}|\Sigma|^{1/2} } \exp\!\Big( {-\tfrac{1}{2}}(x-\mu)'\Sigma^{-1}(x-\mu) \Big),$ โดย |Σ| เป็น ดีเทอร์มิแนนต์ ของ Σ

บทความที่เกี่ยวข้อง

• การแจกแจงแบบปรกติ