กรณฑ์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

กรณฑ์ (√) เป็นเครื่องหมายทางคณิตศาสตร์ชนิดหนึ่ง ใช้แทนจำนวนใดๆ ที่เมื่อยกกำลังตามเลขที่กำกับบนเครื่องหมาย แล้วได้คำตอบเท่ากับค่าในราก หรือเรียกได้อีกอย่างว่าเป็นคำตอบของกรณฑ์ หากเป็นกรณฑ์คู่ (เช่น กรณฑ์ที่ 2 , กรณฑ์ที่ 4 ...) จะยึดคำตอบเฉพาะค่าที่เป็นบวกเท่านั้น ซึ่งต้นกำเนิดเกี่ยวกับเครื่องหมายกรณฑ์ (radical symbol, root symbol) $\sqrt{\,\,}$ นั้นยังเป็นที่สงสัยอยู่ โดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์,^[1] เชื่อว่ามันมีที่มาจากอักษรตัว r, ซึ่งเป็นตัวอักษรขึ้นต้นของคำว่า radix ในภาษาลาตินอันมีความหมายเช่นเดียวกับการกระทำทางคณิตศาสตร์ที่เหมือนเดิม. ซึ่งเครื่องหมายนี้ถูกตีพิมพ์ครั้งแรกโดยไม่ปรากฏเส้นลากข้างบนในปี ค.ศ. 1525 ในหนังสือ Die Coss โดย คริสตอฟ รูดอล์ฟ นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน.

[แก้] ความแตกต่างระหว่างรากและกรณฑ์

รากที่ n ของ a หมายถึง จำนวนจริงใดที่ยกกำลัง n แล้วได้ a จะได้ว่าจำนวนนั้นเป็นคำตอบของสมการ ซึ่งคำตอบนั้นจะไม่ยึดว่าเป็นค่าบวกเท่านั้นหรือค่าลบเท่านั้น ส่วนกรณฑ์ที่ n หมายถึง จำนวนจริงใดที่ยกกำลัง n แล้วได้ a ซึ่งหากคำตอบของสมการนั้นมีทั้งค่าบวกและค่าลบ ให้ถือว่าคำตอบของสมการนั้นเป็นค่าบวกเพียงอย่างเดียว ตัวอย่างเช่น...

(รากที่สอง)

(กรณฑ์ที่สอง)

[แก้] คุณสมบัติทั่วไป

ค่าในกรณฑ์ต้องไม่เป็นจำนวนจริงลบจึงจะยังคงเป็นจำนวนจริง แต่หากค่าในกรณฑ์ติดลบ ถือว่าเป็นจำนวนจินตภาพ
ค่าในกรณฑ์หากเป็นทศนิยมไปเรื่อยๆ อย่างเช่น $\sqrt{2} = 1.414213562373095048...$ จะไม่พบตำแหน่งที่เริ่มมีการซ้ำได้
$\sqrt[n]{a} \cdot\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$
$\sqrt[n]{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}$
$\sqrt[n]{a\sqrt[n]{a\sqrt[n]{a\sqrt[n]{...}}}} = \sqrt[n-1]{a}$
$\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{+...}}}} = \frac{1+\sqrt{4a+1}}{2}$
$\sqrt{a+\sqrt{a-\sqrt{a+\sqrt{-...}}}} = \frac{1+\sqrt{4a-3}}{2}$
$\sqrt{a}^2 \neq$ $\pm \left| a \right|$ เมื่อ $a < 0$

[แก้] ปฏิบัติการมูลฐาน

การใช้งานเครื่องหมายกรณฑ์นั้นมีดังนี้:

$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \qquad a \ge 0, b \ge 0$

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \qquad a \ge 0, b > 0$

$\sqrt[n]{a^m} = \left (\sqrt[n]{a}\right) ^m = \left (a^{\frac{1}{n}}\right) ^m = a^{\frac{m}{n}},$

ขณะที่ a และ b ต่างเป็นจำนวนบวก.

และทุกๆ a เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่ศูนย์ , จะทำให้มี b เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่แตกต่างกัน n จำนวนซึ่ง bⁿ = a, ดังนั้นการใช้ $\sqrt[n]{a}$ จึงไม่อาจใช้อย่างกำกวมได้. รากที่ n ของ รากของเอกภพ จึงมีความสำคัญยิ่ง.