กฎของเบนฟอร์ด

การกระจายของเลขโดดหลักแรกตามกฎของเบนฟอร์ด แต่ละแท่งแสดงเลขโดดหนึ่ง และความสูงของแท่งแสดงร้อยละของจำนวนซึ่งเริ่มต้นด้วยเลขโดดนั้น

การลงจุดความถี่ของของเลขโดดนัยสำคัญหลักแรกของค่าคงตัวทางฟิสิกส์ (เขียว) เทียบกับกฎของเบนฟอร์ด (แดง)

กฎของเบนฟอร์ด (อังกฤษ: Benford's law) หรือ กฎเลขโดดตัวแรก หมายถึง ความถี่การกระจายเลขโดดในหลายแหล่งข้อมูลในชีวิตจริง (แต่ไม่ใช่ทั้งหมด) ในการกระจายนี้ ปรากฏว่าเลข 1 เป็นเลขหลักแรกมากถึงราว 30% ของทั้งหมด ขณะที่เลขมากกว่า 1 มีความถี่เป็นเลขหลักแรกน้อยกว่า โดยเลข 9 เป็นเลขหลักแรกน้อยกว่า 5% ของทั้งหมด กฎของเบนฟอร์ดยังว่าด้วยการกระจายคาดหมายของเลขโดดหลักอื่นด้วย ซึ่งมาใกล้การกระจายเป็นรูปแบบเดียวกัน

พบว่าผลลัพธ์นี้ใช้ได้กับชุดข้อมูลหลากหลาย รวมถึงใบแจ้งหนี้ไฟฟ้า ที่อยู่ถนน ราคาหลักทรัพย์ จำนวนประชากร อัตราตาย ความยาวแม่น้ำ ค่าคงตัวทางฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ และกระบวนการซึ่งอธิบายด้วยกฎเลขยกกำลัง ซึ่งพบได้บ่อย กฎของเบนฟอร์ดมีแนวโน้มแม่นยำที่สุดเมื่อค่ามีการกระจายตัวที่หลากหลายอันดับของขนาด

กราฟที่แสดงขวามือแสดงกฎของเบนฟอร์ดสำหรับฐาน 10 มีนัยทั่วไปของกฎต่อจำนวนที่แสดงในฐานอื่น (เช่น ฐาน 16) และยังมีนัยทั่วไปตั้งแต่เลขโดดหลักแรกจนถึงเลขโดด n หลักแรก

กฎนี้ได้ชื่อตามนักฟิสิกส์ แฟรงก์ เบนฟอร์ด ซึ่งระบุใน ค.ศ. 1938 แม้ไซมอน นิวคอมบ์จะเคยระบุไว้ก่อนแล้วใน ค.ศ. 1881

นิยาม

เซตของจำนวน เรียกว่าเป็นไปตามกฎของเบนฟอร์ด เมื่อหลักแรกสุด d มีการกระจายตามสูตรความน่าจะเป็น

$P(d)=\log _{10}(d+1)-\log _{10}(d)=\log _{10}\left({\frac {d+1}{d}}\right)=\log _{10}\left(1+{\frac {1}{d}}\right)$

ซึ่งคิดเป็นตัวเลขได้เป็น:

$d$	$P(d)$	ขนาดสัมพัทธ์ของ $P(d)$
1	30.1%	30.1
2	17.6%	17.6
3	12.5%	12.5
4	9.7%	9.7
5	7.9%	7.9
6	6.7%	6.7
7	5.8%	5.8
8	5.1%	5.1
9	4.6%	4.6

จากสูตรแสดงว่า โอกาส P(d) แปรผันตรงกับพื้นที่ระหว่าง d กับ d + 1 บนสเกลลอการิทึม ซึ่งตรงกับการที่ลอการิทึมของจำนวนมีการแจกแจงเอกรูป

ตัวอย่างเช่น จำนวน x ใด ๆ ที่ 1≤ x < 10 จะขี้นต้นด้วย 1 ถ้า 1 ≤ x < 2 และขึ้นต้นด้วย 9 ถ้า 9 ≤ x < 10 แต่จากการแจกแจงเอกรูปของลอการิทึม เราจึงคำนึงจากการที่ x ขี้นต้นด้วย 1 ถ้า log 1 ≤ log x < log 2 และขึ้นต้นด้วย 9 ถ้า log 9 ≤ log x < log 10 ซึ่งช่วง [log 1, log 2] มีขนาดกว้างกว่า [log 9, log 10] มาก (0.301 กับ 0.046 ตามลำดับ) จึงมีโอกาสสูงกว่าที่ x จะขึ้นต้นด้วย 1

กฎของเบนฟอร์ดในฐานอื่น ๆ

สูตรกฎของเบนฟอร์ดข้างต้น สามารถใช้ในฐาน b ≥ 2 ใด ๆ ได้โดยปรับลอการิทึมให้เป็นฐาน b เป็นสูตรทั่วไปว่า

$P(d)=\log _{b}(d+1)-\log _{b}(d)=\log _{b}\left({\frac {d+1}{d}}\right)=\log _{b}\left(1+{\frac {1}{d}}\right)$

ในกรณีฐานสอง กฎของเบนฟอร์ดกล่าวว่าทุกจำนวน (นอกจาก 0) ขึ้นต้นด้วย 1 ซึ่งเป็นจริงอย่างเห็นชัด

กฎของเบนฟอร์ดสำหรับหลักนอกเหนือจากหลักแรก

กฎของเบนฟอร์ดสามารถใช้กับหลักแรกมากกว่าหนึ่งหลัก โดยโอกาสที่จำนวนจะขึ้นด้วยเลขหลายหลัก n คือ

$P(d)=\log _{10}(n+1)-\log _{10}(n)=\log _{10}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)$

เช่น โอกาสที่จำนวนจะขึ้นต้นด้วย 314 คือ $\log _{10}(1+1/314)\approx 0.00138$

จากสูตรนี้ สามารถหาความน่าจะเป็นของเลขโดดในตำแหน่งที่ไม่ใช่หลักแรกได้ เช่น โอกาสที่จำนวนใด ๆ จะมี 3 อยู่ในตำแหน่งที่สอง เท่ากับโอกาสที่จำนวนนั้นจะขึ้นต้นด้วยจำนวนใด ๆ ใน {13, 23, ...93} เท่ากับ

$\log _{10}\left(1+{\frac {1}{13}}\right)+\log _{10}\left(1+{\frac {1}{23}}\right)+...+\log _{10}\left(1+{\frac {1}{93}}\right)\approx 0.104$

ในทำนองเดียวกัน โอกาสที่ d (d = 0, 1, 2, ...9) จะอยู้ในตำแหน่งที่ n เท่ากับ

$\sum _{k=10^{n-2}}^{10^{n-1}-1}\log _{10}\left(1+{\frac {1}{10k+d}}\right)$

ซึ่งเมื่อ n เพิ่มขึ้นการแจกแจงนี้จะขยับเข้าหาการแจกแจงเอกรูปอย่างรวดเร็วดังตาราง

เลขโดด	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
ตำแหน่งที่ 1	N/A	30.1%	17.6%	12.5%	9.7%	7.9%	6.7%	5.8%	5.1%	4.6%
ตำแหน่งที่ 2	12%	11.4%	10.9%	10.4%	10%	9.7%	9.3%	9%	8.8%	8.5%
ตำแหน่งที่ 3	10.2%	10.1%	10.1%	10.1%	10%	10%	9.9%	9.9%	9.9%	9.8%